Neste trabalho tratamos da homotopia monotônica entre trajetórias de um sistema de controle ∑ sobre uma variedade M. Esta é uma variante apropriada da homotopia usual, na qual duas trajetórias são consideradas homotopicas se podem ser deformadas continuamente através de trajetórias. Inicialmente apresentamos alguns aspectos gerais e resultados fundamentais da teoria do controle. Em seguida, introduzimos a noção de regularidade para controles e a homotopia monotônica entre trajetórias de ∑ geradas por essa classe de controles. Em particular, apresentamos um exemplo de um sistema que admite trajetórias que são homotópicas mas não são monotonicamente homotópicas. O objetivo principal foi entender a construção (análoga), para homotopia monotônica, de espaço de recobrimento universal. Entre outros, o conjunto Γ(∑,x) de classes de homotopia monotônica das trajetórias do sistema ∑ a partir x ∈ M possui uma estrutura de variedade diferenciável de mesma dimensão que a variedade M(o espaço estado). Como consequência desse resultado temos um difeomorfismo local que nos permitirá levantar ∑ para a variedade Γ(∑,x), obtendo assim um novo sistema ∑^ em Γ(∑,x). A fim de compreendermos as propriedades universais de Γ(∑,x), tomamos um recobrimento π : N → Α_R(∑,x) no sentido de que N é uma variedade diferenciável munida com um sistema de controle ∑~ e π é um difeomorfismo local que leva e∑~ ao ∑. Comparando as trajetórias de sistemas ∑^ e ∑~ construímos uma aplicação de levantamento ƒ : Γ(∑,x) → N que relaciona ∑^ e ∑~. Finalizamos este trabalho levando em conta a classe particular de sistemas simétricos, para qual os espaços de recobrimento monotônico Γ(∑,x) e topológico M~ de M coincidem.

In this work, we deal with monotonic homotopy between trajectories of a control system ∑ on a manifold M. This is an apropriate variant of usual homotopy, where two trajectories are considered to be homotopic if they can be deformed to each other in a continuous way through trajectories. We introduce regularity for controls and consider monotonic homotopy between trajectories generated by regular controls. In particular, we present an example of a system having homotopic trajectories which are not monotonically homotopic. The main goal was to understand the construction for monotonic homotopy of the universal covering space and, in particular, the differentiable manifold structure on the set Γ(∑,x) of monotonic homotopy classes of trajectories starting at x ∈ M. As a consequence of that result, we obtain a local diffeomorphism which permits lifting of ∑ to another system ∑^ in Γ(∑,x). To consider universal properties of Γ(∑, x) we take a covering π : N → Α_R(∑,x) in the sense that N is a differentiable manifold provided with a control system ∑~ and π is a local diffeomorphism mapping ∑~ to ∑. Comparing the trajectories of ∑^ and ∑~ we construct a lifting mapping ƒ : Γ(∑,x) → N that relates ∑^ and ∑~. Finally, we take into account the particular class of symmetric systems, for which both coverings Γ(∑,x) and M~ coincide.