Sejam σ > 0 e u1 ∈ Lp, p ≥ 1. Considere o seguinte problema de Cauchy, que envolve uma equação de evolução utt + (-Δ)σ u = 0, x ∈ Rn t > 0 (0, x) = 0 ut(0, x) = u1(x). O objetivo deste trabalho é estudar estimativas Lp - Lq para as soluções do problema de Cauchy acima, tanto para frequências baixas quanto altas. No caso em que 0 < σ < 1 ou σ > 1, seguiremos [5], no qual os autores mostram que a solução u para o problema de Cauchy satisfaz as seguintes estimativas ||u(t, .)||Lq t1... ||u1ZZLp(Rn), ∀t > 0, para todo 1 ≤ p ≤ q ≤ ∞ satisfazendo... Para σ = 1, seguindo ideias contidas em [5] e em [16], faremos uma demonstração alternativa para estimativas feitas em [12], isto é, se 1 ≤ p ≤ q ≤ ∞ e... então ||u(t,.)||Lq(Rn) < t1-n... ||u1||Lp(Rn), uniformemente para t > 0. As provas desses resultados utilizam algumas ferramentas de Análise de Fourier, as quais serão abordadas nos primeiros dois capítulos.

Let σ > 0 e u1 ∈ Lp, p ≥ 1. Consider the following Cauchy problem, which contains an evolution equation utt + (-Δ)σ u = 0, x ∈ Rn t > 0 (0, x) = 0 ut(0, x) = u1(x). The goal of this work is to study Lp - Lq estimates for the solutions of the Cauchy problem above, for low and high frequencies. In the case 0 < σ < 1 or σ > 1, we will follow [5], where the authors show that the solution u for the Cauchy problem satisfies the following estimates ||u(t, .)||Lq t1... ||u1ZZLp(Rn), ∀t > 0, for every todo 1 ≤ p ≤ q ≤ ∞ satisfying... For σ = 1, following ideas in [5] and [15], we will do an alternative demonstration for estimates in [11], that is, if 1 ≤ p ≤ q ≤ ∞ and... then ||u(t,.)||Lq(Rn) < t1-n... ||u1||Lp(Rn), uniformly for t > 0. The proofs of these results use some tools of Fourier Analysis, which will be approchead in the first two chapters.