Nesta dissertação consideramos um modelo de urnas interagentes, onde a interação é em parte definida pela estrutura de um grafo finito. Nosso trabalho surge como uma generalização de um modelo proposto independentemente por Benaïm et al. (2015) e van der Hofstad et al. (2016). Nestes artigos, uma urna é colocada nos vértices de um grafo finito G = (E,V). Em cada etapa, uma bola é colocada em cada aresta ⟨u, v⟩ ∈ V. A bola adicionada na aresta ⟨u, v⟩ pode ir para qualquer um dos vértices incidentes u ou v com probabilidade proporcional ao número atual de bolas em u e v. Nesta dissertação consideramos uma generalização deste processo ao incluir a interação de bolas de duas cores. A probabilidade de que uma bola de uma determinada cor seja colocada na urna do vértice u, por exemplo, é uma função decrescente do número de bolas da cor oposta em u. O objetivo principal deste trabalho consiste no estudo das propriedades assintóticas da ocupação dos vértices de G por ambas as cores. Nossa abordagem é baseada no tratamento de sistemas dinâmicos para processos de aproximação estocástica. O modelo aqui descrito é motivado por aplicações relacionadas aos processos de tomada de decisão e ao comportamento coletivo de agentes econômicos heterogêneos definidos em grafos. Nestes termos, o processo definido pela ocupação dos vértices de G por cada cor serve como ferramenta para modelar a competição entre duas populações por um bem ou tecnologia disponível no mercado.

We consider a model of interacting urns in which the interaction depends on the geometry of a finite graph. Our work arises as a generalization of a model proposed independently by Benaïm et al. (2015) and van der Hofstad et al. (2016). In these articles, a urn is placed on the vertices of a finite graph G = (E,V). At each time step, a ball is placed on each edge of the graph. The ball added at edge ⟨u, v⟩ ∈ V goes to any of the incident vertices u and v with probability proportional to the actual number of balls at u and v. Here we consider a generalization of this process, consisting in the extension that includes the interaction of balls of two colors. The probability that a ball of a given color goes to any one vertex in ⟨u, v⟩ is a decreasing function of the number of balls of the opposite color in that vertex. The main objective of this work consists in the study of the asymptotic properties of the vertex occupation by both colors. Our approach is based on the dynamical system treatment of stochastic approximation processes. The model described here is motivated by applications related to decision-making processes and the collective behavior of heterogeneous economic agents defined on graphs. In these terms, the stochastic process defined by the vertex occupation by each color serves as a tool to model the competition between two populations for a good or technology available on the market.