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Master's Dissertation
DOI
10.11606/D.59.2004.tde-29092005-191004
Document
Author
Full name
César Augusto Sangaletti Terçariol
E-mail
Institute/School/College
Knowledge Area
Date of Defense
Published
Ribeirão Preto, 2004
Supervisor
Committee
Martinez, Alexandre Souto (President)
Kinouchi Filho, Osame
Onody, Roberto Nicolau
Title in Portuguese
"Resultados analíticos para as distribuições estatísticas relacionadas à caminhada determinista do turista sem memória: efeito da dimensionalidade do sistema e modelos de campo médio".
Keywords in Portuguese
caminhada determinista
caminhada do turista
dimensionalidade do sistema
distribuição conjunta
distribuição de período de atratores
distribuição de tempos de transiente
estatística extremal
meios aleatórios
modelo de distâncias aleatórias
modelo de mapeamento aleatório
Abstract in Portuguese
Considere um meio caracterizado por $N$ pontos cujas coordenadas são geradas aleatoriamente de maneira uniforme nas arestas unitárias de um hipercubo $d$-dimensional. Um caminhante parte de cada ponto deste meio desordenado e se movimenta obedecendo à regra determinista de ir para o ponto mais próximo que não tenha sido visitado nos últimos $mu$ passos. Este processo foi denominado de caminhada determinista do turista. Cada trajetória gerada por esta dinâmica possui uma parte inicial não-periódica de $t$ passos (transiente) e uma parte final periódica de $p$ passos (atrator). As probabilidades de vizinhança são expressas através da fórmula de Cox, que é parametrizada pela função beta incompleta normalizada $I_d = I_{1/4}[1/2,(d+1)/2]$. Enfati-zamos aqui que a distribuição relevante é $S_{mu,d}^{(N)}(t,p)$, a distribuição conjunta de $t$ e $p$, que tem como casos particulares as distribuições marginais, previamente estudadas. O objetivo deste estudo é obter analiticamente estas distribuições para a caminhada determinista do turista sem memória no espaço euclideano, no modelo de distâncias aleatórias (que corresponde ao limite $d ightarrow infty$) e no modelo de mapeamento aleatório (que é um caso limite das redes de Kauffman). As distribuições analíticas obtidas foram validadas através de experimentos numéricos. A distribuição conjunta de tempos de transiente e período de atratores, no limite termodinâmico para uma dimensionalidade arbitrária vale: $S_{1,d}^{(infty)}(t,p) = [Gamma(1+I_d^{-1}) cdot (t+I_d^{-1})/Gamma(t+p+I_d^{-1})] cdot delta_{p,2}$, onde $t=0,1,2,ldots,infty$; $Gamma(z)$ é a função gama e $delta_{i,j}$ é o delta de Kronecker. A caminhada determinista do turista sem memória no modelo de mapeamento aleatório produz uma distribuição de períodos não-trivial ($S_{0,rm}^{(N)}(p) propto p^{-1}$), que é obtida de $S_{0,rm}^{(N)}(t,p) = Gamma(N)/{Gamma[N+1-(t+p)]N^{t+p}}$, onde enfatizamos que o número de pontos explorados $n_e=t+p$ é a grandeza fundamental nos problemas considerados.
Title in English
Analytical results for the statistical distribution related to a memoryless deterministic walk: Dimensionality effect and mean-field models
Keywords in English
attractor period distribution
deterministic walk
extremum statistics
joint distribution
random distance model
random map model
random media
system dimensionality
tourist walk
transient time distribution
Abstract in English
Consider a medium characterized by $N$ points whose coordinates are randomly generated by a uniform distribution along the unitary edges of a $d$-dimensional hypercube. A walker leaves from each point of this disordered medium and moves according to the deterministic rule to go the nearest point which has not been visited in the preceding $mu$ steps. This process has been called the deterministic tourist walk. Each trajectory generated by this dynamics has an initial non-periodic part of $t$ steps (transient) and a final periodic part of $p$ steps (attractor). The neighborhood probabilities are given by the Cox formula, which is parameterized by the normalized incomplete beta function $I_d = I_{1/4}[1/2,(d+1)/2]$. Here we stress that the relevant distribution is the joint $t$ and $p$ distribution $S_{mu,d}^{(N)}(t,p)$, which has as particular cases, the marginal distributions previously studied. The objective of this study is to obtain analytically these distributions for the memoryless deterministic tourist walk in the euclidean space, random link model (which corresponds to $d ightarrow infty$ limit) and random map model (which is a limiting case of the Kauffman model). The obtained distributions have been validated by numerical experiments. The joint transient time and attractor period distribution in the thermodynamic limit for an arbitrary dimensionality is: $S_{1,d}^{(infty)}(t,p) = [Gamma(1+I_d^{-1}) cdot (t+I_d^{-1})/Gamma(t+p+I_d^{-1})] cdot delta_{p,2}$, where $t=0,1,2,ldots,infty$; $Gamma(z)$ is the gamma function and $delta_{i,j}$ is the Kronecker's delta. The memoryless deterministic tourist walk in the random map leads to a non-trivial cycle distribution ($S_{0,rm}^{(N)}(p) propto p^{-1}$), which is obtained from $S_{0,rm}^{(N)}(t,p) = Gamma(N)/{Gamma[N+1-(t+p)]N^{t+p}}$, where we stress that the number of explored points $n_e=t+p$ is the fundamental quantity in the considered problems.
 
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DissertP.pdf (631.82 Kbytes)
Publishing Date
2005-10-31
 
WARNING: The material described below relates to works resulting from this thesis or dissertation. The contents of these works are the author's responsibility.
  • TERçARIOL, César Augusto Sangaletti, and MARTINEZ, Alexandre Souto. An efficient algorithm to generate random uncorrelated Euclidean distances : the random link model [doi:10.1590/S0103-97332006000200017]. [online], .
  • TERçARIOL, César, and MARTINEZ, Alexandre. Analytical results for the statistical distribution related to a memoryless deterministic walk : Dimensionality effect and mean-field models [doi:10.1103/PhysRevE.72.021103]. Physical Review E [online], 2005, vol. 72, n. 2.
  • TERÇARIOL, C. A. S., et al. Deterministic and random partially self-avoiding walks in random media [doi:10.1016/j.physa.2007.07.019]. Physica. A [online], 2007, vol. 386, p. 678-680.
  • TERÇARIOL, C. A. S., and MARTINEZ, A. S. An efficient algorithm to generate random uncorrelated Euclidean distances: the random link model [doi:10.1590/S0103-97332006000200017]. Brazilian Journal of Physics [online], 2006, vol. 36, nº 1, p. 232-236.
  • TERÇARIOL, C. A. S., GONZÁLEZ, R. S., and MARTINEZ, A. S. Exploring random media with partially self-avoiding walks. In 31st Conference of the Middle European Cooperation (MECO 31), Primo ten , Croatia, 2006. Livro de resumos., 2006. Abstract.
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