Let M a finitely generated module over a local ring (R,m). By S_j(M), we denote the jth symmetric power of M (jth graded component of the symmetric algebra S_R(M)). The purpose of this thesis is to investigate the minimal free resolutions S_j(M) as R-module for each j ≥ 2 and determine the Betti numbers of S_j(M) in terms of the Betti numbers of M. This has some applications, for example for linear type ideals I, we obtain formulas of the Betti numbers I^j in terms of the Betti numbers of I. In addition, we establish upper and lower bounds of Betti numbers of S_j(M) in terms of Betti numbers of M. In particular, obtain some applications about the famous Buchsbaum-Eisenbud-Horrocks conjecture.

Seja M um módulo finitamente gerado sobre um anel local (R,m). Por S_j(M), denotamos a j-ésima potência simétrica de M(j-ésima componente graduada da álgebra simétrica S_R(M)). O propósito desta tese é investigar a resolução livre minimal de S_j(M) como R-módulo para cada j ≥ 2 e determinar os números de Betti de S_j(M) em termos dos números de Betti de M. Isso tem algumas aplicações, por exemplo para ideais de tipo linear I, obtemos fórmulas dos números de Betti de I^j em termos dos números de Betti de I. Além disso, estabelecemos cotas superiores e inferiores para os números de Betti de S_j(M) em termos dos números de Betti de M. Em particular, obtemos algumas aplicações sobre a famosa conjectura de Buchsbaum-Eisenbud-Horrocks.