This thesis consists of the original works Hugo C. Botós, Orbifolds and orbibundles in complex hyperbolic geometry, arXiv:2011.09372; Hugo C. Botós, Carlos H. Grossi. Quotients of the holomorphic 2-ball and the turnover, arXiv:2109.08753; Hugo C. Botós, Geometry over algebras, arXiv:2203.05101; as well as an analysis of the main results of each one of them. The first work introduced basic tools to deal with orbifolds and orbibundles from a diffeological viewpoint. The focus is on developing tools applicable to the construction of complex hyperbolic manifolds. In the second work, several new examples of disc bundles (over closed surfaces) admitting complex hyperbolic structures are constructed. They originate from disc orbibundles over spheres with three cone points and, as such, admit a non-rigid (deformable) complex hyperbolic structure. All the examples obtained support the Gromov-Lawson-Thurston conjecture. The latter establishes the theory of classic geometries over algebras beyond real numbers, complex numbers, and quaternions. We use these geometries to describe the spaces of oriented geodesics in the hyperbolic plane, the Euclidean plane, and the round 2-sphere. Finally, we present a natural geometric transition between such spaces and build a projective model for the geometry of the hyperbolic bidisc (the Riemannian product of two hyperbolic planes).

Esta tese consiste dos trabalhos originais Hugo C. Botós, Orbifolds and orbibundles in complex hyperbolic geometry, arXiv:2011.09372; Hugo C. Botós, Carlos H. Grossi. Quotients of the holomorphic 2-ball and the turnover, arXiv:2109.08753; Hugo C. Botós, Geometry over algebras, arXiv:2203.05101 bem como de uma análise dos principais resultados de cada um deles. O primeiro estabelece ferramentas básicas sobre orbifolds e orbibundles do ponto de vista da difeologia. O foco é desenvolver ferramentas a serem aplicadas à construção de variedades hiperbólicas complexas. No segundo trabalho, vários novos exemplos de fibrados de disco (sobre superfícies fechadas) com estruturas hiperbólicas complexas são construídos. Esses fibrados originam-se de orbibundles de discos sobre esferas com três pontos cônicos e, como tais, admitem estrutura hiperbólica complexa não-rígida (deformável). Todos os exemplos obtidos suportam a conjectura de Gromov-Lawson-Thurston. O último estabelece a teoria de geometrias clássicas para álgebras além dos números reais, complexos e quaternions. Utilizamos tais geometrias para descrever os espaços de geodésicas orientadas do plano hiperbólico, do plano Euclidiano e da 2-esfera redonda. Finalmente, apresentamos uma transição geométrica natural entre tais espaços e construímos um modelo projetivo para a geometria do bidisco hiperbólico (o produto Riemanniano de dois planos hiperbólicos).