A teoria de superfícies mínimas e, mais geralmente, de superfícies de curvatura média constante em R³ tem suas raízes no cálculo variacional introduzido por Euler e Lagrange no século 18 e nos estudos seguintes devidos a Enneper, Riemann, Weierstrass, dentre outros, no século 19. Várias questões globais e conjecturas que surgiram dessa teoria clássica foram resolvidas somente nos últimos anos. Neste trabalho, estudamos alguns resultados sobre superfícies completas de curvatura média constante no espaço Euclidiano R³ e, mais geralmente, em espaços homogêneos tridimensionais, cuja curvatura Gaussiana não muda de sinal.

The theory of minimal surfaces, and more generally, constant mean curvature surfaces in the 3-dimensional Euclidean space has its roots in the calculus of variations developed by Euler and Lagrange in the 18th century and in later investigations by Enneper, Riemann, Weierstrass, among others, in the 19th century. Many of the global questions and conjectures that arose in this classical subject have only recently been addressed. In this work we study some results on complete surfaces of constant mean curvature in the three-dimensional Euclidean space and, more generally, in homogeneous three-dimensional spaces, whose Gaussian curvature does not change sign.