Neste trabalho, inicialmente estabelecemos propriedades estruturais do anel produto fibra R X _T S, onde R, S e T são anéis locais noetherianos com o mesmo corpo residual. Mais especificamente, estudamos as propriedades estruturais do anel produto fibra por meio da multiplicidade de Hilbert-Samuel. Na segunda etapa da tese, estudamos o anulamento dos funtores Ext e Tor de R-módulos finitamente gerados, motivados pela conjectura de Aulander-Reiten, com o intuito de obter propriedades que nos permitam estabelecer condições necessárias para que dois módulos finitamente gerados tenham o dual livre ou dimensão projetiva finita

In this work, we initially establish the structural properties of the fiber product ring R X _T S, where R, S, and T are noetherian local rings with the same residual field. Specifically, we investigate the structural properties of the fiber product ring using the Hilbert-Samuel multiplicity. In the second stage of the thesis, we examine the vanishing of the functors Ext and Tor of finitely generated R-modules. This investigation is motivated by the Aulander-Reiten conjecture, with the aim of obtaining properties that allow us to establish necessary conditions for two finitely generated modules to have the free dual or finite projective dimension.