Random Matrix Theory is a hot topic nowadays given its wide range of applications in different areas, such as quantum mechanics, machine learning, dynamical systems, among others. The present work begins reviewing some of the most famous applications. Then, particular attention is given to the enumeration of maps through the expectation of the trace of random matrices in a Gaussian Unitary Ensemble. Latter, an asymptotic expansion of the partition function is developed, which allows one to count maps by the connection between the expectation of the trace and the partition function. Such expansion is explored in full details and the calculations involving an important RiemannHilbert problem are explicitly worked out. At last, connections between random matrices and integrable systems are explored in two different ways. When the dimension is fixed, the partition function of a random matrix model is a tau-function of the KP hierarchy, while in the limit where the dimension goes to infinity one recovers Painlevé solutions.

A Teoria de Matrizes Aleatórias é um tópico bem atual devido à sua ampla gama de aplicações em diferentes áreas, como mecânica quântica, aprendizado de máquinas, sistemas dinâmicos, entre outros. O presente trabalho começa com algumas das aplicações mais conhecidas. Em seguida, dá-se especial atenção à enumeração de mapas através da esperança do traço de matrizes aleatórias em um Ensemble Gaussiano Unitário. Posteriormente, desenvolve-se uma expansão assintótica da função partição, o que permite contar mapas através da conexão entre a esperança do traço e a função partição. Tal expansão é explorada em detalhes e os cálculos envolvendo um importante problema de Riemann-Hilbert são explicitamente elaborados. Por fim, conexões entre matrizes aleatórias e sistemas integráveis são abordadas de dois modos diferentes. Quando a dimensão das matrizes é fixa, a função partição de um modelo de matrizes aleatórias é uma função tau da hierarquia KP, enquanto que no limite em que a dimensão vai para o infinito recupera-se soluções de equações de Painlevé.