O objetivo deste trabalho é estudar certas equações diferenciais parciais nos espaços de funções ultradiferenciáveis no toro N-dimensional. Primeiro, vamos introduzir estes espaços, conhecidos como classes de Denjoy-Carleman, e seus espaços duais cujos elementos são as ultradistribuições. Vamos caracterizar funções ultradiferenciáveis e ultradistribuições via séries (parciais) de Fourier. Assim, seremos capazes de estender o Teorema de Greenfield-Wallach que descreve a hipoeliticidade de uma classe de operadores de coeficientes constantes dados por P_α(D₁,D₂) = D₁ - αD₂, α ∈ ℂ. Uma outra aplicação da teoria será o estudo da resolubilidade no contexto das classes de Denjoy-Carleman de classes de campos vetoriais complexos definidos em R × S¹, dados por L = ∂ / ∂t + (a(x,t) + ib(x,t))∂ / ∂x , b ≢ 0, numa vizinhança do conjunto (0)× S¹.

The aim of this work is to study certain partial differential equations on the N-dimensional torus spaces of ultradifferentiable functions. First, we will introduce these spaces known as Denjoy-Carleman classes and their dual spaces whose elements are the ultradistribuitions. We will characterize ultradifferentiable functions and ultradistribuitions via Fourier series. So, we will be able to extend the Greenfield-Wallach theorem that describes the hypoelicity for a class of constant coefficient operators given by P_α(D₁,D₂) = D₁, - αD₂, α ∈ ℂ. Another application of this theory is the study of solvability in the context of Denjoy-Carleman classes of classes of complex vector fields defined on R × S¹, given by L= ∂ / ∂t + (a(x,t) + ib(x,t)) ∂ / ∂x, b ≢ 0, near the set (0) x S¹.