As hipersuperfícies f : Mⁿ → Qⁿ_ε × R, ε ∈ {1,0,1}, onde Qⁿ_ε denota uma forma espacial simplesmente conexa com curvatura ε, que pertencem à classe A, são aquelas para as quais gradh é uma direção principal do seu operador forma A, sendo h a função altura de f . Exemplos fundamentais de tais hipersuperfícies são: subconjuntos abertos de slices Qⁿ_ε × R, produtos M^n-1 × R, onde M^n-1 é uma hipersuperfície em Qⁿ_ε, além de imersões isométricas f : : Mⁿ → Qⁿ_ε × R, que são construídas utilizando uma família paralela de hipersuperfícies em Qⁿ_ε e uma função suave de uma variável real. Um fato notável é que qualquer hipersuperfície pertencente à classe A deve ser ou um destes exemplos fundamentais ou é localmente dado pelas últimas imersões isométricas. Neste trabalho, apresentamos o enunciado preciso por trás deste fato e o demonstramos. Por outro lado, hipersuperfícies completas em Hⁿ × R com segunda forma fundamental definida positiva cuja função altura tem pelo menos um ponto crítico, além de serem mergulhadas são também homeomorfas à esfera Sⁿ ou ao espaço Euclidiano Rⁿ, e são a fronteira de um determinado conjunto convexo, onde H denota uma variedade de CartanHadamard arbitrária. Este é o conteúdo essencial de um teorema do tipo Hadamard-Stoker para hipersuperfícies completas em H × R o qual também é apresentado. Além disso, mostraremos que estas hipersuperfícies são rígidas entre as hipersuperfícies de mesma curvatura extrínseca

The hypersurfaces f : Mⁿ → Qⁿ_ε x R, ε ∈ {1,0,1}, where Qⁿ_ε denotes a simply connected space form with curvature ε, which belong to the class A are those for which gradh is a principal direction of its shape operator A; here h stands for the height function of f . Fundamental examples of such hypersurfaces are: open subsets of slices of Qⁿ_ε × R, products M^n-1 × R, where M^n-1 is a hypersurface in Qⁿ_ε as well as isometric immersions f : Mⁿ → Qⁿ_ε × R, built up from a parallel family of hypersurfaces in Qⁿ_ε and a smooth function of one real variable. A remarkable fact is that any hypersurface that belongs to the class A is whether one of this fundamental examples or is locally given by the latter isometric immersions. In this work we present the precise statement behind this fact, as well as prove it. On the other hand, complete hypersurfaces in Hⁿ × R with positive definite second fundamental form, whose height function has at least one critical point, are embedded, homeomorphic to either the unit sphere Sⁿ or the Euclidean space Rⁿ , and bound a convex set, where H stands for a general Cartan-Hadamard manifold. That is the essential content of a Hadamard-Stoker-type theorem for complete hypersurfaces in Hⁿ × R, theorem which we also present here. In addition, it is shown that these hypersurfaces are rigid among the hypersurfaces with the same extrinsic curvature.