O operador de transferência é uma ferramenta muito útil para estudar um sistema dinâmico, além de ter uma relação muito interessante com suas medidas invariantes. Sejam Ι=[0,1] e f: Ι → Ι um sistema dinâmico e Ψ pertencente a um espaço de funções Banach B, definimos o operador de Perron-Fröbenius L_f: B → B da seguinte forma: (L_fΨ)(x) = Σ_f(y)=x Ψ(Y)/∣Df(y)∣. Estudamos a ação do operador de Perron-Fröbenius quando f é um mapa de expansão por partes ou uma contração. No caso particular de uma contração, consideramos a ação do operador nos espaços de Besov B_1,1 ^-S, com 0<s<1. Nosso foco é primeiramente estudar o comportamento do operador para um caso particular de contração, abrindo um horizonte no estudo dos espaços de Besov B_1,1 ^-S. Esses espaços não consistem apenas em funções, a "função" delta de Dirac δ₀, por exemplo, pertence a B_1,1 ^-S. Por exemplo, considere Pⁿ partições de [0,1] em 2ⁿ intervalos de mesmo comprimento. Para cada Q ∈ Pⁿ, Q=[a,b], associamos um átomo a_Q = ΙQΙ^-s-1 (X_{[a, (a+b)/2]} -X_{(a+b)/2 ,b]}), onde X_A é igual a 1 para x ∈ A, e 0 caso contrário. O espaço B_1,1 ^-S, consiste nas distribuições Ψ que podem ser representadas como Ψ = Σ_n∈N Σ_Q∈Pⁿ c_Qa_Q, tal que Σ_n∈N Σ_Q∈Pⁿ∣C_Q∣<∞, onde C_Q ∈ C, para todos Q ∈ Pⁿ e n ∈ N. Vamos estudar também o operador dual do operador de Perron-Fröbenius de um sistema expansor, e compreender sua dinâmica nos espaços de Besov B_1,1 ^-S.

The transfer operatoris a very useful tool for studying a dynamic system, in addition to having a very interesting relationship with its invariant measures. Let Ι=[0,1] and f: Ι → Ι be a dynamical system and Ψ belonging to a space of Banach functions B, we define the Perron-Frôbenius Operator L_f: B → B as follows: (L_fΨ)(x) = Σ_f(y)=x Ψ(Y)/∣Df(y)∣. We study the action of the Ruelle-Perron-Frôbenius operator when f is a piecewise expansion map or a contraction. In the particular case of a contraction, we consider the action of the operator on the spaces of Besov, B_1,1 ^-S, with 0<s<1. Our focus isfirstly study the behavior of the operator for a particular case of contraction, opening a horizon in the study of Besov spaces B_1,1 ^-S. These spaces do not consist only of functions, the Dirac delta "function" δ₀, for example, belongs to B_1,1 ^-S. For example, consider Pⁿ partitions of [0,1] into 2ⁿ intervals of equal length. For each Q ∈ Pⁿ, Q=[a,b], we associate an atom a_Q = ΙQΙ^-s-1 (X_{[a, (a+b)/2]} -X_{(a+b)/2 ,b]}), where X_A is equal to 1 for x ∈ A, and 0 otherwise. The space B_1,1 ^-S consists of the Ψ distributions that can be represented as Ψ = Σ_n∈N Σ_Q∈Pⁿ c_Qa_Q, such that Σ_n∈N Σ_Q∈Pⁿ∣C_Q∣<∞, where C_Q ∈ C, for all Q ∈ Pⁿ and n ∈ N. We will also study the dual operator of the PerronFrôbenius operator of an expanding system, and understand its dynamics in the Besov spaces B_1,1 ^-S