Many dynamical systems, both natural and man-made, are composed of interacting parts. Isolated dynamical systems such as the spiking of neurons, cardiac cells, and electrical circuits are periodic in nature. Mathematically, such periodic systems can be described by a limit cycle oscillator, which can be parameterized in terms of phases. Nowadays it is possible to collect and process enormous amounts of data from the units of many such interacting limit cycle oscillators. However, we do not have enough models of such systems to identify and parameterize the crucial features that must be incorporated into the model. The main objective of this thesis is to reconstruct models of dynamical systems from available time-series data. In this context, we considered the case where the data comes from a network of oscillatory units that interact weakly. To this end, we aim to reconstruct phase dynamics from time series in terms of phases. The phases can be estimated from each time series of such oscillatory systems. Theoretically, the phase reduction framework is discussed for the case of a weakly perturbed dynamical system with an exponentially stable limit cycle when unperturbed, where this was also extended to weakly interacting oscillatory systems, using the concept of isochrons. The influence that one dynamical system exerts on another is described by a coupling function, and the coupling functions extracted from the time series of interacting dynamical systems are often found to be time-varying. Motivated by the time-variability of biological interactions, including neural delta-alpha interac- tion functions which were reconstructed based on Bayesian inference, we studied the existence of synchronization transitions caused by time-varying coupling functions, even though the net coupling strength is invariant. We also studied the emergence of hypernetworks when recon- structing models of nonlinearly coupled oscillators from data. In particular, when the data comes from a network of weakly coupled Stuart-Landau oscillators, we showed that sparse recovery methods reveal hypernetworks. This result is verified theoretically using second-order phase reduction theory via the perturbation method.

Muitos sistemas dinâmicos, tanto naturais quanto feitos pelo homem, são compostos de partes que interagem. Sistemas dinâmicos isolados, como neurônios, células cardíacas e circuitos elétricos, são de natureza periódica. Matematicamente, tais sistemas periódicos podem ser descritos por um oscilador de ciclo limite, que pode ser parametrizado em termos de fases. Hoje em dia é possível coletar e processar enormes quantidades de dados das unidades de muitos osciladores de ciclo limite de interação. No entanto, não temos modelos suficientes de tais sistemas para identificar e parametrizar as características cruciais que devem ser incorporadas ao modelo. O objetivo principal desta tese é reconstruir modelos de sistemas dinâmicos a partir de dados de séries temporais disponíveis. Neste contexto, consideramos o caso em que os dados provêm de uma rede de unidades oscilatórias que interagem fracamente. Para tanto, pretendemos reconstruir a dinâmica de fases a partir de séries temporais em termos de fases. As fases podem ser estimadas a partir de cada série temporal de tais sistemas oscilatórios. Teoricamente, a estrutura de redução de fase é discutida para o caso de sistema dinâmico fracamente perturbado com um ciclo limite exponencialmente estável quando não perturbado, onde este também foi estendido para sistemas oscilatórios de interação fraca, usando o conceito de isócronas. A influência que um sistema dinâmico exerce sobre outro é descrita por uma função de acoplamento, e as funções de acoplamento extraídas das séries temporais de sistemas dinâmicos em interação são frequentemente variáveis no tempo. Motivados pela variabilidade temporal das interações biológicas, incluindo as funções de in- teração cardiorrespiratória e neural delta-alfa que foram reconstruídas com base na inferência Bayesiana, estudamos a existência de transições de sincronização causadas por funções de acoplamento variantes no tempo, mesmo que o acoplamento líquido força é invariável. Também estudamos o surgimento de hiperredes ao reconstruir modelos de osciladores acoplados não linearmente a partir de dados. Em particular, quando os dados vêm de uma rede de osciladores Stuart-Landau fracamente acoplados, mostramos que métodos de recuperação esparsos revelam hiper-redes. Este resultado é verificado teoricamente usando a teoria de redução de fase de segunda ordem através do método de perturbação.