Synchronization is a phenomenon observed in various scientific fields, ranging from mechanical and biological systems to social behavior. The Kuramoto model, developed in the 1970s and 1980s, revolutionized the understanding of spontaneous synchronization in large systems of interacting elements. In this model, synchronization is quantified using the order parameter, which represents the centroid of points distributed on the unit circle. The Kuramoto model revealed the existence of three distinct states: asynchronous, partially synchronous, and completely synchronous. While the classic Kuramoto model assumes an all-to-all network configuration, most real-world networks are sparse. Understanding synchronization in sparse networks and the effects of finite system sizes on synchronization is a challenging research problem. To address this problem, we adopt a dynamical system framework using Moebius maps on the complex unit circle. We investigate the transition to synchronization in both dense and sparse complex networks, where systems evolve through maps instead of ordinary differential equations. We explore the effects of finite system sizes on synchronization phenomena and examine the scaling behavior of the mean time to synchronization. Surprisingly, we discover that the incoherent state can be meta-stable for certain coupling strengths and link densities, challenging conventional assumptions. By analyzing mean-field equations, we construct a bifurcation diagram for infinitely large networks and observe the presence of chaotic transients with exponentially distributed escape times. This suggests that the system experiences transient periods of asynchrony before reaching a synchronized state. Our research provides a comprehensive understanding of synchronization in complex networks, shedding light on the behavior of real-world systems. It contributes valuable insights into the dynamics of finite-sized networks and challenges existing assumptions. Our findings have implications for network dynamics and enhance our understanding of synchronization phenomena in diverse systems.

A sincronização é um fenômeno observado em diversos campos científicos, que vão desde sistemas mecânicos e biológicos até comportamentos sociais. O modelo de Kuramoto, desenvolvido nas décadas de 1970 e 1980, revolucionou a compreensão da sincronização espontânea em grandes sistemas de elementos interagentes. Nesse modelo, a sincronização é quantificada utilizando o parâmetro de ordem, que representa o centroide de pontos distribuídos na circunferência unitária. O modelo de Kuramoto revelou a existência de três estados distintos: assíncrono, parcialmente síncrono e completamente síncrono. Enquanto o modelo clássico de Kuramoto assume uma configuração de rede de todos para todos, a maioria das redes do mundo real são esparsas. Compreender a sincronização em redes esparsas e os efeitos do tamanho finito do sistema na sincronização é um problema de pesquisa desafiador. Para abordar esse problema, adotamos uma estrutura de sistema dinâmico usando mapas de Möbius na circunferência unitária complexa. Investigamos a transição para a sincronização em redes complexas densas e esparsas, onde os sistemas evoluem por meio de mapas em vez de equações diferenciais ordinárias. Exploramos os efeitos do tamanho finito do sistema nos fenômenos de sincronização e examinamos o comportamento de escala do tempo médio para a sincronização. Surpreendentemente, descobrimos que o estado incoerente pode ser metaestável para determinados valores de acoplamento e densidades de links, desafiando suposições convencionais. Ao analisar as equações de campo médio, construímos um diagrama de bifurcação para redes infinitamente grandes e observamos a presença de transientes caóticos com tempos de escape distribuídos exponencialmente. Isso sugere que o sistema passa por períodos transitórios de assincronia antes de atingir um estado sincronizado. Nossa pesquisa proporciona uma compreensão abrangente da sincronização em redes complexas, lançando luz sobre o comportamento de sistemas do mundo real. Ela contribui com percepções valiosas sobre a dinâmica de redes de tamanho finito e desafia suposições existentes. Nossas descobertas têm implicações para a dinâmica de redes e aprimoram nossa compreensão dos fenômenos de sincronização em diversos sistemas.