Stochastic models based on diffusions are often used to describe complex dynamical systems in biology, engineering, finance, physics etc. However, these models, when applied in finance, for example, do not take into account possible price jumps during a business session on a stock exchange due to the arrival of market information. In diffusion models, price movements are conditionally Gaussian, so large and sudden movements do not occur. On the other hand, in practice, price jumps can give rise to substantial losses or gains. Therefore, it is important to analyze the functional volatility for high frequency data, taking into account the presence of these jumps. This work consist of two parts. The first part refers to detection of jumps in a time series using wavelets. The second part is devoted to studying a test statistic of the Cramér-Von Mises type test statistic to identify variations in time series jumps with high frequency data. The main result and contribution of this study shows that the distribution function of the proposed test statistic follows approximately a gamma distribution. This is of vital importance because it enables us to determine the critical region for the rejection of the null hypothesis of interest. We observe better results in comparison with the Kolmogorov-Smirnov (KS) test. Specifically, we show that the power and the error rate of the test using Cramér-von Mises (Cv-M) statistic is better than those using the KS test statistic, showing a higher detection power and lower error rate. We applied the proposed test to three real data sets, namely, the stock returns of Google, Apple and Goldman Sachs (GS), and found that the proposed test can capture the dynamics of the series.

Modelos estocásticos baseados em difusões são usados frequentemente para descrever sistemas dinâmicos complexos em biologia, engenharia, finanças, física etc. Contudo, esses modelos, quando aplicados em finanças, por exemplo, não levam em conta possíveis saltos nos preços durante uma sessão de negócios em uma bolsa de valores devido à chegada de informações do mercado. Nos modelos de difusão, os movimentos dos preços são condicionalmente gaussianos, portanto movimentos grandes e repentinos não ocorrem. Por outro lado, nos modelos que incorporam saltos, estes podem dar origem a grandes perdas ou ganhos . Torna-se importante, portanto, a análise da volatilidade funcional para dados de alta frequência, levando-se em conta a presença desses saltos. Este trabalho consiste em duas partes. A primeira parte refere-se à detecção de saltos em uma série temporal usando wavelets. A segunda parte é dedicada ao estudo de uma estatística de teste do tipo Cramér-von Mises para identificar variações em séries tempo com saltos em dados de alta freqüência. O principal resultado e contribuição deste estudo mostra que a função de distribuição da estatística de teste proposta segue aproximadamente uma distribuição Gamma. Isto é de vital importância porque permite determinar a região critica para a rejeição da hipotese nula de interesse. Encontramos melhores resultados em comparação com o teste de Kolmogorov-Smirnov. Especificamente, mostramos que a taxa de erro e o poder do teste, usando a estatística de teste Cramér-von Mises (Cv-M) é melhor do que a estatística de teste Kolmogorv-Smirnov (KS), mostrando um alto poder de detecção e baixa taxa de erro. Aplicamos o teste proposto a três conjuntos de dados reais, retornos da Google, Apple e Goldman Sachs (GS) e encontramos que o teste proposto captura a dinâmica das series.