O objetivo deste trabalho é apresentar um estudo sobre homeomorfismos do toro homotópicos a um Dehn twist. Ele contém três resultados principais. O primeiro é mais simples e nos dá uma condição sobre a partir da qual garantimos que o conjunto de rotação vertical de é um conjunto unitário de um número irracional. O segundo resultado nos fornece uma condição sobre o conjunto de rotação vertical em que garantimos a existência de compacto conexo que separa os fins do cilindro, por sua vez, isso garante uma limitação uniforme das órbitas de sob a ação de um levantamento para o cilindro. O terceiro nos dá uma condição explícita sob a qual temos um conjunto de rotação vertical que contém um intervalo, o qual, por sua vez, garante que tenha entropia topológica positiva. Como um corolário desse resultado, temos uma resposta para a conjectura de Boyland nesse contexto. Em outras palavras, se preserva área e tem um levantamento de número de rotação com respeito à medida de Lebesgue nulo então ou o conjunto de rotação vertical de é apenas o 0, portanto as órbitas sob a ação de são uniformemente limitadas, ou 0 é um ponto interior do conjunto de rotação vertical. Em ambos os casos, garantimos que o número de rotação da medida de Lebesgue é realizado. Além disso, o teorema 1 deste trabalho apresenta uma demonstração não usual de um resultado amplamente utilizado no estudo de homeomorfismos do toro.

The goal of this work is to present a study on homeomorphisms of the torus homotopic to a Dehn twist. It contains three main results. The first one is simple and gives us a condition on from which we can ensure that the vertical rotation set of is a singleton set of an irrational number. The second result provides a condition on the vertical rotation set that guarantees the existence of a connected compact set that separates the ends of the cylinder. This, in turn, ensures that the orbits under the action of a lift to the cylinder are uniformly bounded. The third result gives us an explicit condition under which the vertical rotation set contains an interval, thus ensuring that has positive topological entropy. As a corollary of this result, we obtain an answer to Boylands conjecture in this context. This means that if preserves area and has a lift with zero Lebesgue measure rotation number, then either the vertical rotation set of is the singleton set 0, and therefore the orbits under the action of are uniformly bounded, or 0 is an interior point of the vertical rotation set. In both cases, we ensure that the rotation number of the Lebesgue measure is realized. Additionally, Theorem 1 of this work presents an unusual proof of a widely used result in the study of torus homeomorphisms.