Este trabalho é dedicado ao estudo da equação diferencial ordinária (ED0) autônoma de segunda ordem \Ddot=F(u,\Dot), onde F\in C^r(\R^2,\R), r\in\{k\geq1,\infty,\omega\}, é uma função par na segunda variável, ou seja, F(u,-\dot)=F(u,\dot). Essa EDO é equivalente ao sistema newtoniano planar de equações diferenciais de primeira ordem \big(\Dot=v, \Dot=F(u,v)\big)\, (\star). Na primeira parte do estudo, supomos que F é analítica em uma vizinhança da origem com \partial_uf(0,0) eq0. Nessas condições, (\star) é analiticamente conjugado, em uma vizinhança de (0,0), a um sistema hamiltoniano. Se \partial_uf(0,0)<0, (\star) tem um centro não degenerado em (0,0). Nesse caso mostramos que (\star) é analiticamente conjugado, em uma vizinhança de (0,0), a um sistema hamiltoniano da forma \big(\Dot=y, \Dot=g(x)\big) (\star\star). Na segunda parte, sob uma condição adicional, mostramos que (\star) é conjugado, em todo o \R^2, a um sistema hamiltoniano. No principal resultado deste trabalho mostramos que, se o único equilíbrio de (\star) é um centro não degenerado, então (\star) é globalmente conjugado a um sistema hamiltoniano do tipo (\star\star). Nesse caso, (\star\star) não está, necessariamente, definido em todo o \R^2.

This work focuses on the analysis of a second-order autonomous ordinary differential equation (ODE) \ddot=F(u,\dot), where F\in C^r(\R^2,\R), with r\in\{k\geq1,\infty,\omega\}, and F is an even function with respect to the second variable, that is, F(u,-\dot)=F(u,\dot). This ODE is equivalent to the planar Newtonian first-order system (\dot=v, \dot=F(u,v))\, (\star). In the first part of the study, we work under the assumption that F is analytic near the origin, with \partial_uf(0,0) eq0. Under these conditions, the system (\star) is analytically conjugate, in a neighborhood of (0,0), to a Hamiltonian system. If \partial_uf(0,0)<0, (\star) possesses a non-degenerate center at (0,0). In such cases, we demonstrate that (\star) is analytically conjugate, in a neighborhood of (0,0), to a Hamiltonian system of the form (\dot=y, \dot=g(x))\, (\star\star). In the second part, under an additional condition, we establish that (\star) is conjugate, across the entirety of \R^2, to a Hamiltonian system. The main result of this paper proves that if the only equilibrium of (\star) is a non-degenerate center, then (\star) is globally conjugate to a Hamiltonian system of type (\star\star). Note that in this case, (\star\star) is not necessarily defined on the whole \R^2.