It is proven in this essay that any group of orientation preserving diffeomorphisms acting on the 2-sphere and properly extending the conformal group of Möbius transformations must be at least 4-transitive or, more precisely, arc 4-transitive. This means that any two ordered lists of four distinct points can be mapped one onto the other via a transformation in the group, isotopic to the identity. In addition, it is shown that any such group must always contain an element of positive topological entropy, for which a description as isotopic to a relative pseudo-Anosov homeomorphism of the 4-punctured sphere is provided. Furthermore, an elementary characterisation of the Möbius transformations within the full group of sphere diffeomorphisms is given in terms of transitivity.

Neste ensaio, demonstra-se que qualquer grupo de difeomorfismos que preserve orientação e aja na 2-esfera, estendendo propriamente o grupo conforme das transformações de Möbius, precisa ser ao menos 4 transitivo ou, mais precisamente, 4-transitivo por arcos. Isso significa que quaisquer duas listas ordenadas de quatro pontos distintos podem ser aplicadas uma sobre a outra por alguma transformação do grupo, isotópica à identidade. Argumenta-se, também, que tais grupos apresentam sempre um elemento de entropia topológica positiva, para o qual é dada uma descrição como isotópico a um homeomorfismo pseudo-Anosov relativo da esfera 4-perfurada. Além disso, apresenta-se uma caracterização elementar em termos de transitividade das transformações de Möbius dentro do grupo total de difeomorfismos.