DOI
https://doi.org/10.11606/D.45.2023.tde-08012024-125310
Documento
Autor
Nome completo
Guilherme Ramalho Saroka
E-mail
Área do Conhecimento
Data de Defesa
Imprenta
São Paulo, 2023
Lopes, Pedro Tavares Paes (Presidente)
Fernando, Honorio Joaquim
Volpe, Ernani Vitillo
Título em português
Análise de equações diferenciais parciais com condições de contorno dinâmicas: teoria, implementação e aplicações com o método dos elementos finitos
Palavras-chave em português
Crank-Nicolson
Elementos finitos
Equações diferenciais parciais
FEniCS
Problema de Wentzell
Ritz-Rayleigh
Resumo em português
Título em inglês
Analysis of partial diferencial equations with dynamic boundary conditions: theory, implementation and applications with the finite elements method
Palavras-chave em inglês
Crank-Nicolson
FEniCS
Finite elements
Partial differential equations
Ritz-Rayleigh
Wentzell problem
Resumo em inglês
In this work, our objective is to perform the analytical and numerical treatment of problems involving parabolic partial differential equations with dynamic boundary conditions. Let Rd, d = 1,...,n be a bounded and smooth domain. The model example we will use is called the Wentzell problem, and it can be stated as follows: given f L2([0, [, L2()), u0 H1(),and,>0,findu:×[0,[Rsuchthat uu = fin×[0,[, t We will show that there exists a unique weak solution u L2 [0, [; H1() H1 [0, [; L2() L2() , for the weak formulation of the Wentzell problem: Z u·vdx+Z vuds+Z vtudx+Z tuvds=Z fvdx, vH1(), for each fixed t [0,[. It is worth noting that we will also address the stationary counterpart of the Wentzell problem. Initially, for the analytical treatment, we will present some results from the theory of Hilbert and Sobolev spaces in order to obtain the existence and uniqueness of weak solutions for the proposed problems. After obtaining the weak solution, we will discretize the problems (with one and two spatial dimensions) to obtain approximate solutions using the finite element method. We will implement the Ritz-Rayleigh methods for elliptic problems and the Crank-Nicolson method for parabolic problems in Python, both in one and two spatial dimensions. In two dimensions, we will use the open-source FEniCS library. Finally, the numerical analysis is intrinsically related to the study of error and, consequently, the order of convergence. We will demonstrate convergence order theorems for the methods applied to one-dimensional problems and the two-dimensional elliptic problem.

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Data de Publicação
2024-01-08

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