Tese de Doutorado

In this thesis, we investigate the Falconer-type problems about point configurations and in different dimensions. It is well-known the concept of the Hausdorff measure is a generalization of the Lebesgue measure and the Falconer distance problem aims to relate these two topics when it asks how large does the Hausdorff dimension of a compact set need to be to ensure the Lebesgue measure of the distance set. In the first moment, we consider a k-point configurations in Rd and we prove that a compact set E EUR Rd determines a positive measure of such volume types if the Hausdorff dimension of E is greater than d d1 2kd generalizing some results in this field. This portion of the work represents joint work with Dr. Alex McDonald. In the second moment, we study a Falconer-type problem on a 4-point configuration in the plane and we prove that a compact set E EUR R2 determines a positive measure of such Galo area types if the Hausdorff dimension of E is greater than 3 2 extending some results from A. McDonald in [22].

Nessa tese, investigamos alguns problemas do tipo-Falconer sobre específicas configurações e em diferentes dimensões. O conceito de medida de Hausdorff é bem conhecido por todos pois se trata de uma generalização da medida de Lebesgue e o problema da distância de Falconer tem o objetivo de alinhar estes dois conceitos quando perguntado quão grande precisamos atribuir a dimensão de Hausdorff de um conjunto compacto a fim de que a medida de Lebesgue do conjunto de distancias seja positiva. No primeiro momento, consideramos uma configuração de k-pontos em $\\mathbb^d$ e provamos que se um conjunto compacto $E\\subset \\mathbb^d$ então conseguimos determinar que o conjunto do tipo-volumes possui medida de Lebesgue positiva quando a dimensão de Hausdorff de E é maior do que $d-\\frac$ generalizando assim alguns resultados existentes neste campo. Uma porção destes resultados representa um trabalho feito em parceria com Dr. Alex McDonald. No segundo momento, estudamos outros problemas do tipi-Falconer sendo uma configuração de 4 pontos no plano e provamos que um conjunto compacto $E\\subset \\mathbb^2$ determina que o conjuntos do tipo area de Galo possui medida de Lebesgue positiva se a dimensão de Hausdorff de $E$é maior do que $\\frac$ extendendo alguns resultados de A. McDonald.