Electrical Impedance Tomography (EIT) is an imaging modality that seeks to recover the conductivity distribution inside a physical body from electrical measurements taken on the body surface. In this thesis, two contributions to EIT are presented. The first is a theoretical framework that unifies the formulation and analysis of EIT models. There, the weak formulations of the EIT models and the current-voltage maps are generalized, and dual properties that reveal the link between the formulations in terms of electric potentials and current fields are found. The second is the regularization of an all-at-once formulation of the EIT inverse problem. Three regularized problems are formulated based on the classic Tikhonov, Ivanov, and Morozov regularizations, and the existence, stability, and convergence of regularized solutions are proved. In both developments, several EIT models are admitted and numerical examples to illustrate our theoretical results are provided.

A Tomografia por Impedância Elétrica (EIT) é uma modalidade de tomografia que busca recuperar a distribuição da condutividade dentro de um corpo a partir de medições elétricas realizadas na superfície do corpo. Nesta tese, são apresentadas duas contribuições para o EIT. A primeira é um marco teórico que unifica a formulação e análise dos modelos para a EIT. Lá, as formulações fracas dos modelos e os mapas de corrente-voltagem são generalizados, e propriedades duais que revelam a ligação entre as formulações em termos de potenciais elétricos e campos de corrente são encontradas. A segunda é a regularização de uma formulação all-at-once do problema inverso na EIT. Três problemas regularizados são formulados com base nas regularizações clássicas de Tikhonov, Ivanov e Morozov, e a existência, estabilidade e convergência de soluções regularizadas são provadas. Em ambos os desenvolvimentos, vários modelos para a EIT são admitidos e exemplos numéricos para ilustrar nossos resultados teóricos são fornecidos.