Doctoral Thesis

In this doctoral thesis, we introduce the notion of Grothendieck prelopologies, which is a notion of covering for semicartesian monoidal categories that generalizes Grothendieck pretopologies. Moreover, this generalization encompasses a certain notion of sheaves in semicartesian quantales Q, introduced in this thesis, which is more general than the usual definition of sheaves on locales L. We observe that the respective sheaf categories, Sh(Q) and Sh(L), share certain properties; however, Sh(Q) does not always form a Grothendieck topos. The analysis of the lattice of subobjects of the terminal sheaf in Sh(Q) suggests that the notion of sheaves for Grothendieck prelopologies has a linear internal logic rather than an intuitionistic one. Furthermore, we develop a Cech cohomology in which the coefficients are sheaves on a quantale, and we find a morphism between the locale of open sets of a topological space X and the quantale of ideals of the ring C(X) of continuous functions on that allows us to relate the Cech cohomology of X and the (expanded) Cech cohomology of C(X).

Nessa tese de doutorado nós apresentamos a noção de pré-lopologias de Grothendieck, que é uma noção de cobertura para categorias monoidais semicartesianas que generaliza as pré-topologias de Grothendieck. Mais do que isso, tal generalização engloba uma certa noção feixes em quantales semicartesianos, Q, introduzida nessa tese, a qual é mais geral que a definição usual de feixes em locales L. Verificamos que as respectivas categorias de feixes, Sh(Q) e Sh(L), possuem propriedades em comum, contudo, Sh(Q) nem sempre forma um topos de Grothendieck. A análise do reticulado dos subobjetos do feixe terminal em Sh(Q) sugere que a noção de feixes para as prelopologias de Grothendieck possui uma lógica interna linear em vez de intuicionista. Ainda, desenvolvemos uma cohomologia de Cech na qual os coeficientes são feixes em um quantale e encontramos um morfismo entre o locale dos abertos de um espaço topológico X e o quantale dos ideais do anel C(X) das funções contínuas em que permite relacionar a cohomologia de Cech de X e a cohomologia (expandida) de Cech de C(X).