Um problema comum em matemática é determinar quando dois objetos têm uma mesma estrutura, por exemplo, determinar quando dois espaços topológicos são homeomorfos. Em Análise Funcional, sabe-se que dois espaços de Banach isomorfos têm a mesma estrutura de espaço vetorial topológico, mas é possível que outras classes de funções entre espaços de Banach também preservem esta estrutura. Um resultado forte nesta linha é o clássico teorema de Mazur-Ulam, que afirma que uma isometria sobrejetora entre espaços de Banach reais é uma função afim, logo isometrias também preservam a estrutura linear de espaços de Banach reais. Este resultado motiva o estudo sobre o quanto da estrutura linear é preservada por outras classes de funções não lineares. No capítulo 3 trabalha-se com isomorfismos e mergulhos Lipschitz entre espaços de Banach. São desenvolvidos conceitos como conjuntos Haar-nulos, diferenciabilidade de Gâteaux e propriedade de Radon-Nikodým. É mostrado um resultado de Heinrich e Mankiewicz que diz que se X e Y são espaços de Banach e Y tem a propriedade de Radon-Nikodým, entao todo mergulho Lipschitz f: X \to Y pode ser linearizado através da derivada de Gâteaux. Este resultado irá abrir portas para vários outros resultados a respeito de isomorfismos Lipschitz e propriedades estáveis sob isomorfismos Lipschitz. Mostra-se por exemplo, que para 1 < p < \infty, todo espaço de Banach Lipschitz isomorfo a um espaço L_ é também linearmente isomorfo a L_. No capítulo 4 trabalha-se com os homeomorfismos uniformes. Resultados como o princípio de Gorelik e da teoria de Ramsey possibilitam estimativas relacionadas aos homeomorfismos uniformes que restringirão quando dois espaços de Banach podem ser uniformemente homeomorfos. Pode-se então provar o clássico teorema de Johnson, Lindenstrauss e Schechtman à respeito da estrutura uniforme dos espaços \ell_'s: se 1 < p < \infty e X é um espaço de Banach uniformemente homeomorfo a \ell_, então X é linearmente isomorfo a \ell_. Enfim, prova-se o mesmo para os espaços \ell_\oplus\ell_, onde 1 < p < q < 2 ou 2 < p < q < \infty e depois para os espaços \ell_\oplus\ell_, onde 1 < p < 2 < q < \infty. Aquele estabelecido por Johnson, Lindenstrauss e Schechtman e este estabelecido por Kalton e Randrianarivony.

A common problem in mathematics is to determine when two objects have the same structure, for instance, determine when two topological spaces are homeomorphic. In Functional Analysis, it is known that two isomorphic Banach spaces have the same structure as topological vector spaces, but it is possible that others classes of functions preserve this structure. A strong result in this way is the classic Mazur-Ulam theorem, that asserts that a surjective isometry between real Banach spaces is an affine function, hence isometries also preserve the linear structure of real Banach spaces. In chapter 3 we deal with Lipschitz isomorphisms and embeddings. Concepts such as Haar null sets, Gâteaux differentiability and Radon-Nikodým property are developed. We show a result of Heinrich and Mankiewicz, that says that if X and Y are Banach spaces and Y has the Radon-Nikodým property, then every Lipschtiz embedding f: X \to Y can be linearized through the Gâteaux derivative. This result will make way to many others results concerning Lipschitz isomorphisms and stable properties under Lipschitz isomorphisms. It is shown, for instance, that for 1 < p < \infty, every Banach space Lipschitz isomorphic to a L_ space is also linearly isomorphic to L_ . In chapter 4, we deal with uniform homeomorphisms. Results such as the Gorelik principle and results from Ramsey theory enable bounds related to the uniform homeomorphisms that will restrict when two Banach spaces can be uniform homeomorphic. Then, we can prove the classic theorem of Johnson, Lindenstrauss and Schechtman concerning the uniform structure of the spaces \ell_'s: if 1 < p < \infty and X is a Banach space uniformly homeomorphic to \ell_, then X is linearly isomorphic to \ell_. In the end, it is proved the same for the spaces \ell_\oplus\ell_, where 1 < p < q < 2 or 2 < p < q < \infty and afterwards for the spaces \ell_\oplus\ell_, where 1 < p < 2 < q < \infty. The first one was established by Johnson, Lindenstrauss and Schechtman and the second one was established by Kalton and Randrianarivony.