Neste trabalho introduzimos uma nova classe de álgebra de conglomerado com coeficientes do tipo Dynkin A_n, a qual denominaremos álgebra c-conglomerada. Desenvolvemos a teoria dos c-frisos, a qual foi introduzida por Matte, Desloges e Sanchez, para o estudo das propriedades combinatórias da álgebra c-conglomerada. Usando c-frisos, obtemos uma fórmula explícita para as variáveis de conglomerado de uma álgebra c-conglomerada que explica simultaneamente o fenômeno de Laurent e a positividade. Interpretamos geometricamente a álgebra c-conglomerada em termos de triangulações de polígonos, em que triangulações correspondem aos conglomerados e diagonais correspondem às variáveis de conglomerado de uma álgebra c-conglomerada. Além disso, generalizamos a aplicação de Caldero-Chapoton e utilizamos esta versão mais geral para obter as variáveis de conglomerado de uma álgebra c-conglomerada em função dos objetos indecomponíveis da categoria de conglomerado do tipo A_n.

In this work we introduce a new class of cluster algebra with coefficients of Dynkin type A_n, which we call c-cluster algebra. In order to study the combinatorics of the c-cluster algebra, we develop the theory of c-friezes introduced by Matte, Desloges and Sanchez. Using c-friezes, we give an explicit formula for all cluster variables of a c-cluster algebra, which explains simultaneously the Laurent phenomenon and the positivity. A c-cluster algebra also has a geometric interpretation in terms of triangulations of a polygon, where clusters are in one-to-one correspondence with triangulations and the cluster variables are in one-to-one correspondence with diagonals. Finally, we give a generalization of the Caldero-Chapoton map which we use to obtain the cluster variables of a c-cluster algebra in terms of the indecomposable objects of the cluster category of type A_n.