Esta dissertação possui como fio condutor a seguinte conjectura, proposta por Y. Han em 2006 e ainda não solucionada, acerca de álgebras de dimensão finita: se a dimensão da homologia de Hochschild é finita, então a dimensão global também é finita. Assim, iniciamos o texto com um capítulo introdutório sobre os dois conceitos de Álgebra Homológica --- e algumas das ferramentas da área --- que concernem a conjectura. Em seguida, apresentamos um panorama considerável dos métodos utilizados para se tratar do problema e detalhamos as diversas respostas parciais obtidas ao longo nas últimas décadas. Tais trabalhos podem ser enquadrados em dois tipos. O primeiro deles está relacionado em encontrar exemplos que satisfazem o problema --- por exemplo, sua validade já foi verificada para álgebras comutativas, monomiais e de grupos. Em uma segunda direção, mostrou-se mais recentemente que certas extensões de álgebras preservam a conjectura de Han. Em seguida, propomos tratar o problema por meio de um terceiro ponto de vista: investigar, além do mundo das álgebras de dimensão finita, limites superiores para o reino das álgebras que satisfazem a propriedade acima. Para tanto, buscamos estudar a homologia de álgebras pseudocompactas, isto é, álgebras topológicas que são limites de álgebras de dimensão finita. Em especial, mostramos que certos resultados sobre a dimensão global de álgebras de dimensão finita continuam válidos nesse mundo e verificamos que a conjectura de Han é válida para certas classes de álgebras de grupos profinitos.

The main thread of this dissertation is the following unsolved conjecture, proposed by Y. Han in 2006, concerning finite-dimensional algebras: if Hochschild homology dimension if finite, then global dimension is also finite. The text begins with an introductory chapter about both concepts of Homological Algebra concerning Han's conjecture. We then present a considerable overview of the methods used to address the problem and we give details on the various partial answers obtained over the past decades. Such works can be classified in two types. The first one is concerned in finding examples satisfying the conjecture - which have been seen to include commutative, monomial, Koszul, and group algebras. In a second direction, it has been shown, more recently, that certain extensions of algebras preserves Han's conjecture. Next, we propose to address the problem through a third viewpoint: to investigate, beyond the finite-dimensional scope, upper bounds for the realm of algebras satisfying it. To do so, we chose to study the homology of pseudocompact algebras, that is, topological algebras which are given by a limit of finite-dimensional algebras. In particular, we show that certain results about the global dimension of finite-dimensional algebras remain valid in this world, and we verify that Han's conjecture holds for certain classes of profinite group algebras.