Given a set A, its sumset A+A is defined as the set of all sums of two elements, not necessarily distinct, in A. Given a function p \colon \N \to [0,1], we consider the sequence of independent random sets \{A_n\}_{n\in \N}, where A_n is obtained by choosing independently each integer 1\le i \le n with probability p(n). We employ the classical probabilistic tools of the first and second moment methods as well as a recently proven theorem of Park and Pham, formerly known as the Kahn--Kalai Conjecture, regarding the relationship between the threshold function and the expectation threshold of increasing properties in order to find lower and upper bounds for the threshold for the existence of arithmetic progressions of m(n) elements in the sumset of the random set A_n.

Dado um conjunto A, seu conjunto soma A+A é definido como o conjunto das somas de dois elementos, não necessariamente distintos, em A. Dada uma função p \colon \N \to [0,1], consideramos a sequência de conjuntos aleatórios independentes \{A_n\}_{n\in \N}, onde A_n é obtido pela escolha independente de cada inteiro 1 \le i \le n com probabilidade p(n). Empregamos as ferramentas probabilisticas clássicas dos métodos do primeiro e do segundo momento tal qual um teorema recentemente provado por Park e Pham, anteriormente conhecido como a Conjectura de Kahn--Kalai, a respeito da relação entre o limiar e o limiar para a esperança de propriedades crescentes, a fim de estabelecer cotas inferiores e superiores para o limiar da existência de progressões aritméticas de m(n) elementos no conjunto soma do conjunto aleatório A_n.