As álgebras de Hopf generalizam algumas classes bem abrangentes de álgebras como álgebras de grupo e álgebras envolventes universais de álgebras de Lie. Sendo assim, ao estudar as ações de álgebras de Hopf estamos generalizando o estudo de ações de grupos e de derivações de álgebras de Lie. Se H for uma álgebra de Hopf e V for um H-módulo, os invariantes são V^H = \{ v \in V : h \cdot v = \varepsilon(h)v \ \forall h \in H\}. Assim, no caso particular em que a álgebra de Hopf é a álgebra de grupo, os invariantes coincidem exatamente com os elementos fixos pela ação de todos os elementos do grupo. E no outro caso conhecido, das álgebras de Lie, os invariantes são os elementos que são anulados pelos elementos da álgebra de Lie, ou seja, são as constantes. Sendo assim, podemos estender a ação de H em R = T(V), de modo que R é uma H-módulo álgebra homogênea. Como essa ação é homogênea, os invariantes formarão uma subálgebra homogênea. Neste texto iremos estudar o comportamento dos invariantes desse tipo de ação.

Hopf algebras generalize some big classes of algebras such as group algebras and universal enveloping algebras of Lie algebras. So, by studying their actions, we are generalizing the study of group actions and derivations of Lie algebras. If H is a Hopf algebra and V is a H-module, the invariants are V^H = \{ v \in V : h \cdot v = \varepsilon(h)v \ \forall h \in H\}. So, in the case where H is a group algebra, the invariants are exactly the elements fixed by the action of all elements of the group. In the other case (Lie algebras), the invariants are the elements that are annihilated by the elements of the Lie algebra, that is, the constansts. So, we can extend the action of H in R = T(V), the free algebra in V, making R an homogeneous H-module algebra. This means that the set of invariants will be an homogeneous subalgebra. In this text, we are going to study the behavior of the invariants of this action.