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Dissertação de Mestrado
DOI
https://doi.org/10.11606/D.45.2022.tde-14042022-085011
Documento
Autor
Nome completo
Thiago Alexandre
Unidade da USP
Área do Conhecimento
Data de Defesa
Imprenta
São Paulo, 2022
Orientador
Banca examinadora
Mariano, Hugo Luiz (Presidente)
Arndt, Peter
Zalame, Fernando
Título em inglês
On the homotopy types
Palavras-chave em inglês
Cohomology
Derivators
Foundations of homotopy theory
Higher categories
Homotopical algebra
Resumo em inglês
This dissertation is concerned with the foundations of homotopy theory following the ideas of the manuscripts Les Derivateurs and Pursuing Stacks of Grothendieck. In particular, we discuss how the formalism of derivators allows us to think about homotopy types intrinsically, or, even as a primitive concept for mathematics, for which sets are a particular case. We show how category theory is naturally extended to homotopical algebra, understood here as the formalism of derivators. Then, we proof in details a theorem of Heller and Cisinski, characterizing the category of homotopy types with a suitable universal property in the language of derivators, which extends the Yoneda universal property of the category of sets with respect to the cocomplete categories. From this result, we propose a synthetic re-denition of the category of homotopy types. This establishes a mathematical conceptual explanation for the the links between homotopy type theory, 1-categories and homotopical algebra, and also for the recent program of re-foundations of mathematics via homotopy type theory envisioned by Voevodsky. In this sense, the research on foundations of homotopy theory re ects in a discussion about the re-foundations of mathematics. We also expose the theory of Grothendieck-Maltsiniotis 1-groupoids and the famous Homotopy Hypothesis conjectured by Grothendieck, which arms the (homotopical) equivalence between spaces and 1-groupoids. This conjectured, if proved, provides a strictly algebraic picture of spaces.
Título em português
Sobre os tipos de homotopia
Palavras-chave em português
Álgebra homotópica
Categorias superiores
Cohomologia
Derivadores
Fundamentos da teoria da homotopia
Resumo em português
Esta dissertação trata sobre os fundamentos da homotopia seguindo as ideias dos manuscritos Les Derivateurs e Pursuing Stacks de Grothendieck. Em particular, discutimos como o formalismo dos derivadores nos permite pensar os tipos de homotopia intrinsicamente, ou, mesmo como um conceito primitivo para a matemática, para os quais os conjuntos são um caso particular. Mostramos como a teoria das categorias e naturalmente estendida a álgebra homotópica, entendida aqui como o formalismo dos derivadores. Em seguida, provamos em detalhes um teorema de Heller e Cisinski, caracterizando a categoria dos tipos de homotopia com uma propriedade universal adequada na linguagem dos derivadores, que por sua vez, estende a propriedade universal de Yoneda da categoria dos conjuntos para as categorias co-completas. A partir desse resultado, propomos uma redefinição sintética da categoria dos tipos de homotopia. Isso estabelece uma explicação conceitual matemática para as ligações entre teoria homotópica dos tipos, 1- categorias e álgebra homotópica, e também para o recente programa de refundamentação das matemáticas via teoria homotópica dos tipos idealizado por Voevodsky. Nesse sentido, a pesquisa sobre os fundamentos da teoria da homotopia reflete em uma discussão sobre os fundamentos das matemáticas. Também expomos a teoria dos 1-grupoides de Grothendieck-Maltsiniotis e a celebre Hipótese da Homotopia conjecturada por Grothendieck, que arma a equivalência (homotópica) entre os espacos e os 1-grupoides. Tal conjectura, se demonstrada, forneceria uma paisagem estritamente algébrica dos espaços.
 
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onthehomotopytypes.pdf (936.73 Kbytes)
Data de Publicação
2022-04-27
 
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