Let K be a field. We obtain conditions for elements of the form {1 + a i, 1 + b j} to generate a free group of rank 2 in a quaternion algebra over K, including the case where the characteristic of the field K is 2, based on an article by Professors Jairo Gonçalves, Arnaldo Mandel and Mazi Shirvani. These results are then applied to obtain pairs of elements that freely generate a free group in many other classes of division rings, such as total fields of fractions of Ore domains and Malcev-Neumann series rings. With these results, we partially answer a conjecture by A. Lichtman, regarding the existence of non-abelian free groups in the multiplicative group of non-commutative division rings.

Seja K um corpo. Obtemos condições para elementos da forma {1 + a i, 1 + b j} gerarem um grupo livre de posto 2 em uma álgebra de quatérnios sobre K, inclusive em característica 2, baseado em um artigo dos professores Jairo Gonçalves, Arnaldo Mandel e Mazi Shirvani. Estes resultados são, então, utilizados para encontrar pares de elementos que gerem um grupo livre em diversas classes de anéis com divisão, como corpos totais de frações de domínios de Ore e anéis de séries de Malcev-Neumann. Com isso, respondemos parcialmente a uma conjectura de A. Lichtman, a respeito da existência de grupos livres não-abelianos no grupo multiplicativo de anéis com divisão não-comutativos.