Estudamos probabilidades de transição de operadores generalizados como introduzido por Colombeau e Gsponer e as associamos ao conceito de suporte para firmar este último como uma potente ferramenta para transportar informações para o ambiente clássico quando problemas de realidade física são modelados no ambiente generalizado. Também analisamos este problema sob o ponto de vista das funções quase periódicas de H. Bohr e desenvolvemos ferramentas adequadas para o cálculo do valor médio. Revisitamos exemplos da literatura e exibimos os cálculos. Isto pode contribuir com o estudo de probabilidades de transição no espaço de Fock como originalmente abordado por estes autores. Construir ambientes que possam lidar com singularidades e não linearidades é fundamental para encontrar soluções de certas equações diferenciais. Em tais ambientes, infinitesimais e infinitos devem coexistir e o colapso de seus encontros deve ser analisado por ferramentas apropriadas. Nesse sentido, mostramos que uma variedade Riemanniana M pode ser discretamente mergulhada em uma variedade generalizada M*, nesta última existem infinitesimais, sua estrutura subjacente contém infinitos, singularidades desaparecem, produto de distribuições faz sentido e problemas em M podem ser levantados para M*. Tudo isto é feito no intitulado ambiente full, o que nos permitiu uma conexão a uma teoria global existente apresentando um teorema de mergulho de K-álgebras de G^(M) em C^infty(M*,R^~_f). Também provamos um teorema de ponto fixo que pode ser usado neste contexto. Estabelecemos assim os fundamentos de uma geometria diferencial generalizada muito similar a teoria clássica. Nossa teoria nos permite definir o espaço-tempo generalizado e usá-lo para sugerir explicações para fenômenos no espaço-tempo clássico. Por fim, construímos exemplos de ações parciais de grupos no anel dos números generalizados R como um ensaio para estabelecer um ponto de partida desta teoria para os chamados conjuntos internos fortes.

We studied transition probabilities of generalized operators as introduced by Colombeau and Gsponer and associated them with the concept of support to establish the latter as a powerful tool for carrying information to the classical setting when problems of physical reality are modeled in the generalized environment. We also analyzed this problem from the perspective of H. Bohrs almost periodic functions and developed suitable tools for calculating the mean value. We revisited examples from the literature and demonstrated the calculations. This can contribute to the study of transition probabilities in Fock space as originally approached by these authors. Constructing environments that can handle singularities and non-linearities is crucial for finding solutions to certain differential equations. In such environments, infinitesimals and infinities must coexist, and the collapse of their encounters must be analyzed using appropriate tools. In this sense, we show that a Riemannian manifold M can be discretely embedded in a generalized manifold M*, in which infinitesimals exist, its underlying structure contains infinities, singularities vanish, the product of distributions makes sense, and problems in M can be lifted to M*. All of this is done in the so-called full environment, which allowed us to establish a connection to an existing global theory by presenting a embedding theorem of K-algebras of G^(M) in C^infty(M*,R^~_f). We also proved a fixed-point theorem that can be used in this context. Thus, we established the foundations of a generalized differential geometry that is very similar to the classical theory. Our theory allows us to define the generalized space-time and use it to suggest explanations for phenomena in classical space-time. Finally, we constructed examples of partial actions of groups on the ring of generalized numbers R as an attempt to establish a starting point for this theory concerning the so-called strongly internal sets.