Na década de 30, as matrizes aleatórias (RM) foram introduzidas pelo matemático John Wishart em um estudo estatístico de sistemas multivariados. Algumas décadas depois a primeira aplicação em física aconteceu no estudo dos níveis energéticos de núcleos atômicos pesados com Eugene P. Wigner. Com o desenvolvimento de trabalhos recentes, construindo matrizes aleatórias tridiagonais conhecidas como beta-ensembles, investigou-se o efeito do índice beta no contínuo, ou seja, fora do "threefold way " de Dyson, a saber Beta=1, 2, 4 . Motivados por buscar no contexto das matrizes aleatórias elementos com a mesma propriedade de hamiltonianas não hermitianas, mas invariantes, simultaneamente, por simetrias de paridade (P) e inversão temporal (T) estudamos, neste trabalho, a estatística de sistemas pseudohermitianos no ensemble Beta-Laguerre. Essa classe de elementos compartilham o espectro com o seu respectivo adjunto via transformação de similaridade. Os resultados obtidos mostram a concordância entre as expressões analíticas, revisadas ao longo do estudo desenvolvido, com o perfil de histogramas produzidos empregando cálculo numérico para diferentes parâmetros em matrizes no ensemble utilizado. Destaca-se o resultado observado na estatística de espaçamento de autovalores, que difere entre os casos hermitianos e pseudo-hermitianos. Esse fenômeno, que também é observado no ensemble Beta-Hermite, indica que embora a distribuição dos elementos pseudo-hermitanos tenda, no limite assintótico, a distribuição dos elementos hermitianos, o parâmetro beta que ajusta as expressões difere, concluímos que a relação é Hermitiano igual ao dobro do pseudo hermitiano.

Random matrices (RM) were introduced by the mathematician John Wishart in the 1930s in a statistical study of multivariate systems. A few decades later the first application in physics took place in the study of the energy levels of heavy atomic nuclei in Wigners work. With the development of recent works, building random tridiagonal matrices knows as beta-ensembles, the effect of the beta index on the continuum, out of the Dysons threefold Way Beta=1, 2, 4 , was investigated. Motivated by searching in the context of random matrices for elements with the same property as non-Hermitian Hamiltonians that are invariants under the combined symmetries of parity (P) and temporal reversion (T), we study in this work the statistic of pseudo-Hermitian systems in the Beta-Laguerre ensemble. This class of elements shares the spectrum with its respective adjoint by a similarity transformation. The results obtained show an agreement between the analytical expressions, revised throughout the developed study, with the profile of histograms obtained using numerical calculation for different parameters in matrices in the ensemble used. We highlight the result observed in the eigenvalue spacing statistics, which differs between the Hermitian and pseudohermitian cases. This phenomenon, which is also observed in the Beta-Hermite ensemble, indicates that although the distribution of the pseudo-Hermitan elements tends, in the asymptotic limit, the distribution of the Hermitian elements, the parameter that fit the expressions differs, we conclude that the relationship is hermitian is twice of pseudo-hermitian.