Obtaining non-abelian anyons is one of the primary goals within the field of topological states of matter. The simplest of these anyons, Majorana bound states (MBSs), have been proposed as candidates for implementing topological quantum computation relying on its non-abelian statistics. Parafermions bound states (PBSs) can be regarded as ZN generalizations of the Z2-symmetric MBSs. PBS have richer non-abelian exchange statistics compared to MBS and would thus offer advantages for quantum computation. In contrast to MBS, PBS usually require strong interactions between electrons and has been proposed to exist, for instance, in fractional quantum Hall insulators with induced superconductivity. Tight-binding models have also been suggested to host PBSs, although in some cases they are nontopological. Recently, Kondo devices have also been proposed to host parafermionic states. Nonetheless, in all setups, many-body interactions are necessary for the existence of PBS. In this thesis, we are concerned with the properties of PBSs that can be used in experimental setups. While most of the work developed here concerns fermionic models, we also investigate a continuous model of fractional quantum Hall insulators with induced superconductivity. This work is, therefore, divided into two parts. In the first part, we examine the fermionic models using Density Matrix Renormalization Group (DMRG) as well as some properties of Fock-parafermion. We start with a proposal on how to use Quantum dots (QDs) to probe the existence of Z4 parafermions and differentiate it from 2 MBSs (2xZ2). Then, we introduce two fermionic models that host Z3 parafermions. We show the topological equivalence of the models and their properties. In the second part, we use a combination of analytical (semiclassical instanton approximation) and numerical (quantum Monte Carlo simulations) techniques to determine the effective parafermion Hamiltonian and its ground state splitting in a fractional quantum Hall insulators with induced superconductivity.

A busca por anyons não-abelianos é um dos principais tópicos no campo de matéria condensada topológica. O mais simples destes anyons, estados de Majorana (MBSs), foi proposto como candidato para a implementação de computador quântico topológico que se baseia em estatística não-abeliana. Estados de parafermions (PBSs) podem ser entendidos como ZN generalizações do Z2-simétrico MBSs. PBS possuem uma estatística não-abeliana de troca mais rica que o MBS e portanto oferece vantagens para computação quântica. Em contraste ao MBSs, PBSs normalmente necessita de fortes interações entre os elétrons, e foram propostos existir em, por exemplo, isolantes Hall quânticos fracionários com supercondutividade induzida. Foi sugerido que alguns modelos tight-biding podem hospedar PBS, apesar de em alguns casos os PBS não são topológicos. Recentemente, alguns dispositivos Kondo foram propostos como hospedeiros de estados parafermionicos. De toda forma, em todos os sistemas, interações de muitos-corpos são condições necessárias para a existência de PBS. Nessa tese, estamos interessados nas propriedades dos PBS que podem ser usadas em experimentos. Enquanto a maioria do trabalho refere-se a modelos fermiônicos, nos também investigamos modelos contínuos, como isolantes Hall quânticos fracionários com supercondutividade induzida, de forma que esse trabalho é dividido em duas partes. Na primeira parte, nos examinamos modelos fermiônicos usando o método de grupo de renormalização de matriz de densidade (DMRG) e propriedades de Fock-parafermions. Começamos com uma proposta de como utilizar pontos quânticos (QD) para examinar a existência de Z4 parafermions e diferenciá-los de 2 MBS (2xZ2). Continuamos com a introdução de dois modelos fermiônicos que possuem Z3 parafermions e mostramos a equivalência topológica entre os modelos, bem como suas propriedades. Na segunda parte, usamos uma combinação de técnicas analíticas (aproximação semi-clássica de instantons) e numéricas (simulações de Monte Carlo quânticas) para determinar o Hamiltoniano efetivo de parafermions e sua separação de níveis fundamentais em isolantes Hall quânticos fracionários com supercondutividade induzida.