O estado fundamental e propriedades térmicas de um sistema de bosons não relativísticos interagentes por uma interação repulsiva de dois corpos, são investigados através de uma aproximação Gaussiana auto-consistente que consiste em escrevermos o operador densidade variacionalmente determinado como o funcional Gaussiano mais geral dos operadores de campo. Resultados a temperatura finita são obtidos, incluindo transições de fase, no contexto do ensemble grand-canônico. Através de truncamentos na aproximação Gaussiana completa podemos reproduzir resultados tradicionais de Bogolyubov e de Lee, Yang e Huang. A aproximação Gaussiana completa fornece uma fase condensada que é termodinamicamente instável e uma fase não condensada que não difere essencialmente de uma teoria livre quando forças de contato e um esquema de renormalização padrão são usados. Como alternativa, uma teoria dependente do cut-off no momento é desenvolvida para um sistema diluído de bosons interagentes. A aproximação Gaussiana gera um espectro de quasi-partículas que contém um gap na energia, em conflito com os resultados perturbativos. Para investigar o espectro de excitações na teoria efetiva, é desenvolvida uma formulação dependente do tempo e o regime de pequenas oscilações para os parâmetros variacionais é estudado. São obtidas então as mesmas energias utilizadas no cálculo das ocupações estáticas.

The ground-state and thermal properties of a system of non-relativistic bosons interacting through repulsive two-body interactions are investigated using a self-consistent Gaussian mean-field approximation which consists in writing the variational determined density operator as the most general Gaussian functional of the quantized field operators. Finite temperature results are obtained, including phase transitions, in the grand canonical framework. Contact is made with the results of Bogolyubov and Lee, Yang and Huang in terms of particular truncations of the full Gaussian approximation. The full Gaussian approximation gives a condensate phase which is thermodinamically unstable and a non-condensate phase that does not differ essentially from a free phase when contact forces and standard renormalization scheme are used. As an alternative an effective cut-off dependent theory is developed for a dilute interacting bose system. The Gaussian approximation generates a quasi-particle spectrum having an energy gap, in conflict with perturbation theory results. In order to investigate the excitation spectrum of the effective theory, a time-dependent formulation is developed and the small oscillation regime for the variational parameter is studied. The same energies used in the calculus of the static occupations are obtained.