Problemas inversos consistem na identificação das características de um sistema a partir da resposta a uma determinada excitação, e tem aplicações em diversas disciplinas tais como imageamento medicinal, detecção de danos, testes não destrutivos, e imageamento geofísico. Na geofísica de exploração, a Inversão de Forma de Onda (no inglês, FWI) consiste em utilizar dados sísmicos de reflexão e refração para reconstruir o campo de velocidades da subsuperfície. A inversão é particularmente desafiante para modelos de velocidade com corpos de sal, cujas interfaces com alto contraste entre propriedades materiais amplifica erros na estimação do caminho de onda e tempo de trânsito. O problema de identificação do sal é extremamente relevante devido à sua abundância em importantes sítios de exploração de hidrocarbonetos como o golfo do México e a bacia de Santos. Dessa forma, com o intuito de incorporar a hipótese de interfaces materiais dentro do modelo, assim guiando a inversão, é proposto utilizar um framework baseado na técnica de projeto estrutural Otimização Topológica (OT). Mais especificamente, o campo de velocidades é descrito por uma variável de projeto inteira, e o problema de otimização associado é resolvido por Programação Linear Inteira Sequencial. A função objetivo mede a diferença entre dados colhidos de uma enquete sísmica com dados gerados sinteticamente através de um modelo computacional. O gradiente é calculado pelo método adjunto e dois filtros de sensibilidade são utilizados. Um filtro baseado em Equação Diferencial Parcial típico de OT é aplicado para controlar o surgimento de inclusões espúrias, e um filtro de médias móveis é aplicado com intuito de estabilizar o processo de inversão. A implementação da propagação de ondas foi feita utilizado Spyro, um pacote python construído sobre a biblioteca de elementos finitos Firedrake. A otimização por variável inteira é realizada através da biblioteca IBM CPLEX. Com objetivo de validar a metodologia, inversão acústica é aplicada à reconstrução de inclusões simples, e a influência de parâmetros de filtragem e da configuração do problema são analisados. Por fim, a metodologia é aplicada a um problema FWI com modelo de velocidades típico da bacia de Santos. Para esse modelo, três casos são mostrados, reconstrução do sal, reconstrução do sal e do reservatório, e reconstrução das camadas abaixo do sal.

Inverse problems usually consist in identifying characteristics of a system based on its response to a certain input, and have many applications in disciplines such as medical imaging, damage detection, non-destructive testing, and geophysical imaging. In seismic exploration, Full Waveform Inversion (FWI) takes the wave equation into account by incorporating it as one of the constraints of the inverse problem which seeks to identify properties from the subsurface of the Earth. Hydrocarbon exploration sites in salt basin areas such as the Gulf of Mexico and in the Brazilian coast deep waters are specially challenging for velocity model building, since the contrast in material properties between the salt region and its surroundings amplifies perturbations in the measured data, consequently making it harder to correctly place the salt interfaces. With the objective of incorporating the presence of sharp interfaces into the model, this work proposes applying Sequential Integer Linear Programming to FWI formulated as a Topology Optimization problem. The identification procedure for the material parameters of the subsurface consist in minimizing an objective function subject to the acoustic wave equation as a constraint and with the acoustic velocity described by an integer design variable. The objective function measures the misfit between data collected from a seismic survey and data coming from a computational representation of the subsurface. The gradient evaluation is carried out using the adjoint method. Two sensitivity filters are employed, a spatial filter based on Partial Differential Equations limits spurious inclusions, while a moving average filter is used to stabilize the inversion process. Wave propagation is carried out using Spyro, a Finite Element Method (FEM) software for seismic aplications built on top of Firedrake. The gradient evaluation employs the adjoint method, and integer linear programming is carried out with using the IBM CPLEX optimization library. Results are shown for velocity models with one or more inclusions, as well a velocity model representative of the Santos basin. Three cases are analyzed with this model, salt reconstruction, salt and reservoir reconstruction and subsalt reconstruction.