Este trabalho apresenta um algoritmo para tomografia por ultrassom aplicada a uma mama, visando uso em equipamento portátil para a triagem precoce de tumores. Cada tecido é caracterizado por suas propriedades acústicas. Um tomógrafo para esta aplicação terá uma série de transdutores ao redor de uma cuba com água, na qual a mama será imersa. Cada um dos transdutores emite uma excitação, enquanto os demais capturam as respostas. Ao fim dos padrões de excitação as leituras são processadas para gerar a tomografia. Um protótipo de tal equipamento não está pronto, portanto o conjunto dos transdutores, água e mama será representado numericamente por um modelo de elementos finitos, comumente chamado de problema direto. O algoritmo de tomografia é baseado num modelo de elementos finitos com uma malha mais grosseira que a de simulação, e em otimização por programação quadrática sequencial. A velocidade de propagação do som em cada voxel será ajustada (otimizada) para fazer corresponder as leituras do modelo de otimização com as do modelo de simulação ou experimento físico, quando disponível. Para simplificar o problema, as propriedades de dissipação do som nos diferentes elementos dentro do domínio de análise são consideradas uniformes e iguais. A propagação de onda é um fenômeno dinâmico. Os estados dos modelos são propagados usando uma integração por diferenças centrais. Para cada passo no tempo o modelo de otimização deve ser resolvido, e ´e este processo de simulação por elementos finitos o que mais exige tempo de processamento. Para cada variação no valor de uma propriedade, em cada voxel, cada transdutor emite a excitação, as leituras são numericamente simuladas integrando os passos no tempo com a malha de otimização, e estas leituras comparadas com as de referencia. O modelo de elementos finitos será usado milhares de vezes. O fantoma da mama é um cilindro de poucos centímetros de diâmetro e de altura, e o tumor é um cilindro ainda menor em seu interior. O ultrassom é de baixa frequência, 25 kHz, assim os elementos finitos são maiores, reduzindo o número de elementos no modelo mas preservando uma adequada relação de elementos por comprimento de onda. Assim tem-se um modelo rápido com boa representação dos fenômenos acústicos. São usados 8 e depois 12 elementos por comprimento de onda. Ondas sonoras atravessando um meio qualquer são refletidas com a máxima intensidade nas suas fronteiras externas, e por isso a região de interesse deve ser revestida com elementos extras, cujas propriedades atenuem os ecos. Isto acrescenta complexidade e número de elementos ao modelo completo, comprometendo a velocidade de simulação e de otimização. Imagens iniciais de baixa resolução foram geradas com inferência bayesiana e um atlas anatômico elaborado com amostras da população, com 100000 sorteios supondo distribuição uniforme nas variações de tamanho e posição de mama e tumor. Portanto, um modelo 3D de elementos finitos é uma plataforma viável para representar as equações de derivadas parciais acústicas, e isto permite o desenvolvimento de algoritmos para geração de imagens de tomografia por ultrassom.

This work presents an algorithm for ultrasound tomography (UST), applied to the human breast. The aim is a way for early and portable screening of tumors. Each tissue is characterized by its acoustic properties. The acoustic tomograph will have a series of transducers around the perimeter of a water filled vat where the breast is immersed. Each of the transducers will, one by one, excite the system, meanwhile all transducers will capture sound signals. After all the excitation patterns, the set of readings is processed in order to determine the properties of what was put inside the vat. An experimental setup is not yet ready, therefore the system of transducers, water and breast, is numerically simulated by a finite element model, frequently called direct problem. The tomography algorithm is based on a finite element model (FEM), with a coarser mesh than the one used as reference, and on an optimization process via sequential quadratic programming. The sound speed propagation on each voxel is adjusted in order to match the read signals from the optimization model to that of the reference or physical experiment, when available. Sound dissipation properties are considered in this work, for simplicity, as uniform properties inside the domain of analysis. Propagation of sound is a dynamic process. The model states are propagated in time via the central difference integration scheme. For each time step the FEM optimization model has to be solved, and this is the most time consuming step of this algorithm: for each change of properties of each voxel, all the transducers have to fire, and all the numerically simulated readings are then compared to the reference readings. The FE (finite element) model is used thousands of times. The breast numerical phantom is a small cylinder of a few centimeters in diameter and in height, the tumor is an even smaller cylinder placed inside it, and the ultrasound frequency is low, 25 kHz, therefore the FE elements can be bigger, reducing the number of elements in the model, while concomitantly having enough elements per wavelength, allowing for faster running times with good representation of sound pressure in the media. Eight and latter twelve elements per wavelength are used. Sound waves traversing a media will reflected at the borders, therefore the region of interest needs to be surrounded by layers of absorbing elements to attenuate echoes; this adds extra size and complexity to the complete model, and penalties to a faster optimization. Initial coarse images were obtained using Bayes Inference and a sampled anatomical atlas, representing mean values from 100,000 drawings with uniform variation in sizes and position of tumor and breast. Therefore, the 3D finite element method is a viable platform to represent the acoustic partial differential equation for the development of Ultrasound Tomography image algorithms.