Este trabalho pretende estudar a não linearidade geométrica de estruturas laminares planas em regime elástico através do desenvolvimento de um programa de computação formulado com base no método dos elementos finitos. No campo teórico, esse estudo liga-se a um conjunto de outros trabalhos desenvolvidos, ou em desenvolvimento, no Departamento de Engenharia de Estruturas e Fundações da Escola Politécnica da Universidade de São Paulo que visam a esclarecer os aspectos conceituais da não linearidade geométrica. A formulação da não linearidade geométrica através do método dos elementos finitos parte da energia potencial do sistema estrutural, na qual a parcela corresponde à energia de deformação corresponde a um polinômio de 4° grau nos deslocamentos modais. Da minimização da energia potencial resulta, então, um sistema de equações de 3° grau. No processo incremental, transforma-se o problema em uma sequência de análises lineares, isto é, para cada incremento de carga, admite-se comportamento geometricamente linear em que a matriz de rigidez é caracterizada em função dos deslocamentos e tensões correspondentes ao nível de carregamento do estágio anterior, a partir da diferenciação de equações do 3° grau, que fornece um sistema linear nos acréscimos de deslocamentos. No processo iterativo, adotado neste trabalho, parte-se da solução geometricamente linear correspondente ao carregamento total. Em função dos deslocamentos e tensões instaladas na estrutura, altera-se a matriz de rigidez, o que permite a obtenção de novos valores dos deslocamentos. A sequência de operações é executada até que a diferença entre os valores obtidos em duas etapas sucessivas satisfaça a precisão desejada, ficando, assim, satisfeito o sistema de equações do 3º grau. O efeito das tensões na matriz de rigidez,que nos estudos das estruturas reticuladas decorre basicamente do efeito de 2ª ordem da força normal, não pode ser caracterizado tão facilmente no caso de estruturas laminares e maciças. O trabalho procura abordar os aspectos teóricos que fundamentam o processo de resolução adotado, exemplificando-se no caso das barras de treliça e das barras de flexão. Do estudo de elementos usados na análise de estruturas laminares, feito a seguir, resultam sub-rotinas que foram implantadas no progrma de computador CALGER, elaborado pelo Engº Hideki Ishitani originalmente para o estudo da flambagem de estruturas reticuladas. À análise numérica do problema deparam-se os custos elevados. A adoção de elementos cujas características de rigidez são de fácil definição exige o emprego de grande número de elementos na discretização da estrutura e consequentemente a solução de um sistema de equações de grau elevado. Já a utilização de elementos mais complexos do ponto de vista da definição das características de rigidez do elemento permite apreciável redução do número de incógnitas. Assim, parte considerável dos custos derivam ora da caracterização do elemento, ora da solução do sistema de equações. O trabalho limita-se à comparação dos resultados obtidos pela discretização com elementos de complexidade crescente, mantendo aproximadamente constante o número de incógnitas. No campo das aplicações, o trabalho permite a análise de estruturas laminares com grandes deslocamentos ou grandes rotações mas com pequenas deformações e, indiretamente, a análise de estruturas com grandes deformações através da introdução da não linearidadefísica a ser feita posteriormente. Assim, podem-se estudar, por exemplo, barragens de terra (nas quais, mesmo para grandes deslocamentos, o material não se afaste significativamente do comportamento elástico), e os problemas de instabilidade, no plano da estrutura. Ademais, a formulação desenvolvida possibilita a abordagem das placas submetidas a ações em seu próprio plano além das cargas transversais correntes. A solução, neste caso, é formalmente análoga à desenvolvida no exemplo que estuda as barras e, flexão.

The purpose of this work is the study of the geometrical unlinearity of plane sheeted structure under elastic behavior through a computerized program development formulated according to the finite elements method. Theoretically speaking, such study closely relates to other ones already developed or in development stage at the Structure and Foundations Engineering Department of the Escola Politécnica da Universidade de São Paulo, aiming to clarify the conceptual aspects of the geometrical unlinearity. The geometrical unlinearity formulation through the finite elements method starts from the structural systems potential energy where the corresponding parcel to the deformation energy relates to a 4th degree polinom in the nodal displacements. From the potential energy minimization then results a 3rd. degree equation system. At the incremental process the problem is changed into a series of linear analysis, that is, for each load increment it is admitted a geometrically linear behavior in which the rigidity matrix characterizes itself in function of stresses and displacements correspondents to the preceding stage of loading level, differenciating the 3rd degree equations that leads to a linear system in the incremental displacements. In the iterative process adopted for this work, we start from the geometrically linear solution corresponding to total loading. In function of the stresses and displacements put on the structure we change the rigidity matrix, allowing the obtention of new values for the displacements. The operations sequence is worked up until the difference between obtained values at two successive stages satisfy the desired precision, satisfying too the 3rd degree equations system. The stresses effect on the rigidity matrix which, in the reticular structures, basically comes from a 2nd order effect of the normal force, -cannot be so easily characterized in the case of sheeted and massive structures.This work tries to focus the theoretical points that lead the adopted resolution process, exemplifying it in the case of trusses bars and bars under flexion. From the study of used elements in the sheeted structures analysis to follow, some subroutines will result which were introduced into the CALGER computerized program elaborated by Eng. Hideki Ishitani, originally prepared for a reticular structures bucking study. To the problems numerical analysis , high costs will be faced. The adoption of elements whose rigidity characteristics are of easy definition demands the application of a great number of elements in the structure discretisized and, consequently, the resolution of a high degree equation system. Otherwise, the use of more complex elements from the point of view of the element rigidity characteristics definition, allows appreciable reduction in the number of unknowns. Thus, a meaningfull cost part comes sometimes from the element characterization and other times from the equation system resolution. This study limits itself to the comparison of obtained results through the discretization with increasing complexity elements, maintaining the quantity of unknowns roughly constant. In the field of applications, the study allows the analysis of sheeted structures with large rotations or displacements but small deformation and, indirectly, the analysis of structures with largedeformations through the introduction of the fisical unlinearity to be furtherly done. Thus, is may be studied for instance, earth dams (were the displacements may be of a large amount without a meaningfull departure from the material elastic behavior), and the instability problems at the structure plane. Furthermore, the developed formulation allows the focusing of plates submitted to actions over its own plane besides the usual cross loads. The solution in this case is formally similar to the one that was developed in the bars under flexion example.