This work concerns the study of problems whose solutions in classical linear elasticity theory predict material overlapping, which is not physically admissible. To eliminate this anomalous behavior, we consider a theory that minimizes the total potential energy of the classical linear elasticity subject to the constraint that the deformation field is locally injective. We apply this theory, together with an interior penalty method and a standard finite element formulation, to obtain numerical solutions that do not exhibit material overlapping. We consider the problem of an anisotropic n-dimensional solid sphere, n = 2, 3, of radius R_e compressed along its boundary in the context of this constrained minimization theory. First, we assume that the solutions for both cases, n = 2 and n = 3, are radially symmetric and reproduce results found in the literature with the aim of validating the computational procedure. We then assume the existence of a second solution of the disk problem (n = 2) that is rotationally symmetric and formulate this problem in a one-dimensional domain (0, R_e), instead of the original two-dimensional domain. We compare results obtained from the numerical solution of this problem with computational results found in the literature, which were obtained by considering an asymmetric displacement field defined in a two-dimensional domain. Both solutions predict that the local injectivity constraint is active only in an annulus of inner radius R_a and outer radius R_b. Despite this good agreement, away from the center of the disk, the rotationally symmetric solution is similar to the classical solution and the asymmetric solution is similar to the radially symmetric solution of the constrained minimization theory. To verify the validity of our computational solution, we search numerically for asymmetric solutions defined in the original two-dimensional domain. In addition, we find an analytical expression for the rotationally symmetric solution in the interval (0, R_a) ∪ (R_b, R_e) that depends on constants of integration whose values are determined from our computational results. Both approaches, computational and analytical, confirm the existence of the rotationally symmetric solution found computationally. Besides, our results clearly suggest that we must introduce a perturbation in the tangential displacement to obtain the rotationally symmetric solution. Otherwise, we obtain only the radially symmetric solution. Our results indicate that, for a fixed mesh, there are both a maximum shear modulus above which and a minimum load below which the rotationally symmetric solution cannot be obtained. It seems, however, that no threshold values exist in the limit case of an infinitely refined mesh. Moreover, the rotationally symmetric solution yields a lower value of the total potential energy functional when compared to the radially symmetric solution. Finally, we use a regular perturbation method to find approximate solutions of the disk problem in the context of the classical linear elasticity theory and verify that these solutions converge to the closed-form solution of the problem as a perturbation parameter tends to zero. This study aims to use this method to investigate more complex problems for which closed-form solutions are not known.

Neste trabalho estudam-se problemas cujas soluções no contexto da teoria da elasticidade linear clássica predizem auto-intersecção de material. Para eliminar este comportamento fisicamente inadmissível, considera-se uma teoria que minimiza o funcional de energia potencial total da elasticidade linear clássica sujeito à restrição de que a deformação seja localmente injetiva. Utiliza-se essa teoria, juntamente com um método de penalidades interiores e uma formulação de elementos finitos clássica, para obter soluções numéricas que não predizem auto-intersecção. Neste trabalho, considera-se o problema de uma esfera anisotrópica n-dimensional, n = 2, 3, de raio R_e comprimida ao longo de seu contorno no contexto dessa teoria de minimização com restrição. Primeiramente, assume-se que as soluções em ambos os casos, n = 2 e n = 3, são radialmente simétricas e reproduzem-se resultados disponíveis na literatura com o objetivo de validar o procedimento computacional. Em seguida, assume-se a existência de uma segunda solução para o problema do disco (n = 2) que é rotacionalmente simétrica, e formula-se o problema em um domínio unidimensional (0, R_e), em vez do domínio bidimensional original. Compara-se a solução numérica desse problema com resultados computacionais disponíveis na literatura, que foram obtidos considerando-se um campo de deslocamento assimétrico definido em um domínio bidimensional. Ambas as soluções predizem que a restrição de injetividade local está ativa apenas em um anel de raio interno R_a e raio externo R_b. Apesar dessa semelhança, longe do centro do disco, a solução rotacionalmente simétrica é similar à solução clássica, enquanto que a solução assimétrica é similar à solução radialmente simétrica da teoria de minimização com restrição. Para verificar a validade da nossa solução computacional, busca-se numericamente por soluções assimétricas definidas no domínio bidimensional original. Também determina-se uma expressão analítica para a solução rotacionalmente simétrica no intervalo (0, R_a) ∪ (R_b, R_e) que depende de constantes de integração cujos valores são determinados a partir de nossos resultados computacionais. Ambas as abordagens, computacional e analítica, confirmam a existência da solução rotacionalmente simétrica obtida computacionalmente. Além disso, nossos resultados sugerem que a introdução de uma perturbação no deslocamento tangencial é necessária para a obtenção da solução rotacionalmente simétrica. Caso contrário, somente a solução radialmente simétrica é obtida. Nossos resultados também indicam que, para uma dada malha, existe um módulo de cisalhamento máximo acima do qual e um carregamento mínimo abaixo do qual a solução rotacionalmente simétrica não pode ser obtida. Entretanto esses valores limites parecem não existir para o caso de uma malha refinada infinitamente. Ademais, a solução rotacionalmente simétrica resulta em um menor valor de funcional de energia potencial total quando comparada à solução radialmente simétrica. Por fim, utiliza-se um método de perturbações regulares para determinar soluções aproximadas do problema do disco no contexto da teoria da elasticidade linear clássica, e verifica-se que essas soluções convergem para a solução fechada do problema à medida que um parâmetro de perturbação tende a zero. Esse estudo tem como objetivo a utilização desse método na investigação de problemas mais complexos para os quais soluções fechadas sejam desconhecidas.