Neste projeto estudamos bifurcações de pontos de equilíbrio em sistemas de N células acopladas que possuem um grupo de simetria "global" G e cada célula possui sua simetria "interna" L, onde G é um subgrupo do grupo S_N das permutações de N elementos e L é um grupo de Lie compacto. O acoplamento que consideramos é invariante segundo as simetrias internas de cada célula; neste caso, a combinação dos grupos L e G que leva à simetria total do sistema é a do grupo L produto coroa G, L ≀ G, ou seja, L^N ∔ G Relacionamos as bifurcações de pontos de equilíbrio que ocorrem cm sistemas acoplados com grupo de simetria L ≀ G às bifurcações com simetria L ou G. Fazemos um aplicação dos resultados obtidos para um caso não degenerado de N células acopladas com simetria 0(2) ≀ S_N. Vemos como a teoria invariante para O(2) ≀ S_N está relacionada às teorias invariantes para os grupos O(2) e S_N. Verificamos que, a menos de conjugação, existem exatamente N ramos de soluções, a saber, as com subgrupos de isotropias axiais. Além disso, discutimos a estabilidade das soluções e direção dos ramos.

In this project we study steady-state bifurcation in system of N coupled cells that possess a "global" symmetry group G, and in which each cell possess its own "internai" symmetry group L, where G is a subgroup of thc permutation group S_N of N elements and L is a compact Lie group. The coupling we consider is invariant under the internai symmetries of each cell and the combination of the groups L and G leads to the total symmetry group given by L wreath product G, L ≀ G, i. e., L^N ∔ G. We relate the steady-state bifurcations that occur in the coupled system with symmetry group L ≀ G to bifurcations with symmetry L or G. We apply the results to a non-degenerate system of N coupled cells with symmetry O (2) ≀ S_N. We see how the invariant theory for O (2) ≀ S_N is related to the invariant theories for O(2) and S_N. We check that, up to conjugacy, there are exactly N branches, namely, those with axial subgroup. Moreover, we discuss stability and directions of the solution branches.