Uma equação diferencial binária é uma equação diferencial implícita da forma a(x, y)dy² + 2b(x, y)dxdy + c(x, y)dx² = O, onde a, b, c são funções diferenciáveis de x e y. Em um ponto (x, y) onde seu discriminante, Δ (x, y) = b² (x , y) - a(x ,y)c(x, y), é maior que zero, a equação define um par de direções no plano. Uma maneira natural de estudar esta equação é levantar este par de campos de linhas a um único campo definido num espaço de recobrimento associado ao conjunto Δ = {(x, y)/b²(x, y) - a(x ,y)c(x , y) > 0}. A. Davydov [Dv], seguindo o trabalho pioneiro de L. Dara [Dr], classificou pares de campos genéricos quando o conjunto Δ é uma curva diferenciável. J. W. Bruce e F. Tari estudam em [BT - 1] a classificação topológica das curvas integrais da equação quando a função Δ(x, y) apresenta uma singularidade do tipo Morse. Esta classificação é feita reduzindo a equação implícita à sua forma normal. O objetivo deste trabalho é estudar as equações diferenciais binárias, na vizinhança de um ponto singular isolado. A análise destas singularidades é feita através de informações dadas pelo polinômio de Taylor das funções a, b e c, sem reduzir a EDB à sua forma normal. Os resultados são aplicados ao estudo das linhas de curvatura de superfícies em R³ e ao estudo das linhas assintóticas de mergulhos convexos de superfícies em R⁴.

A binary differential equation is an implicit differential equation of the form a(x, y)dy² + 2b(x,y)dxdy + c(x , y)dx² = O, where a, b, c are smooth functions of x and y. At a point (x, y) where the discriminant, Δ(x, y) =b² (x, y) a(x,y)c(x,y), is greather or equal than zero, the equation defines a pair of directions in the plane. A natural way to study this equation is to lift these bivalued direction fields to a single field defined on a covering space associated to the set Δ = {(x, y)/b²(x, y) a(x,y)c(x,y) > 0}. A. Davydov [Dv], following the pioneer work of L. Dara classified generic bivalued fields when the set Δ is a smooth curve. J. W. Bruce e F. Tari estudied in [BT a topological classification of the integral curves of the equation when the function Δ(x, y) presents singularity of Morse type. Their approac,h is to reduce the implicit equation to a normal form. The purpose of this work is to study the binary differential equations, in the neighbourhood of one isolated singular point. An analysis of these singularities is made through informations given by the Taylor's ,polynomial of the functions a, b e c, without reducing the EDB to a normal form. The results are applied to the study of the lines of curvature of surfaces in R³ and to the study of the asymptotic lines of convex embeddings of surfaces em R⁴.