Grafos de Lyapunov carregam informações dinâmicas de fluxos do tipo gradiente bem como informações topológicas do espaço de fase correspondente, o qual tomamos como uma variedade orientável fechada de dimensão n. Neste trabalho, os grafos de Lyapunov L(h₀,... ,h_n, K.) considerados podem representar fluxos suaves em variedades orientáveis fechadas de dimensão maior ou igual a dois, com cycle number K. Mostramos que as desigualdades de Poincaré-Hopf são condições necessárias e suficientes para um grafo abstrato de Lyapunov L(h₀,... ,h_n, K) ser continuado a um grafo abstrato de Lyapunov do tipo Morse com cycle rank maior ou igual a K. A continuação, que é apresentada por meio de um algoritmo, é mostrada ser única em dimensões dois e três. Em outras dimensões, apresentamos números exatos de possíveis continuações de L(h₀,.. , h_n, K). Mostramos também que um grafo abstrato de Lyapunov em dimensão maior ou igual a dois, com cycle number K, satisfaz as desigualdades de Poincaré-Hopf se, e somente se, satisfaz as desigualdades de Morse e o primeiro número de Betti gamma;₁ é pelo menos K. Definimos o politopo de Morse, P_K (h₀,..., h_n), como sendo o casco convexo da coleção de todos os vetores de números de Betti obtidos das desigualdades de Morse e da desigualdade γ ₁ ≥ K para dados pré-fixados (h₀,..., h _n, K). Finalmente, associamos um politopo de Morse a uma família de grafos de Lyapunov L(h₀,... ,h_n, K) e estabelecemos propriedades geométricas deste politopo.

Lyapunov graphs carry dynamical information of gradient-like flows as well as topological information of its phase space which is taken to be a closed orientable n-manifold. In this thesis the Lyapunov graphs L(h₀,..., h_n, K) considered may represent smooth flows on closed orientable n-manifolds, n ≥ 2, with cycle number K. We will show that the Poincaré-Hopf inequalities are necessary and sufficient conditions for an abstract Lyapunov graph L(h₀,..., h_n, K) to be continued to an abstract Lyapunov graph of Morse type with cycle rank greater or equal to K. The continuation which is presented by means of a constructive algorithm, is shown to be unique in dimensions two and three. In ali other dimensions, the exact number of possible continuations of L are presented. We show that an abstract Lyapunov graph L(h₀,..., h_n, K) in dimension n greater than or equal to two, with cycle number K, satisfies the Poincaré-Hopf inequalities if and only if it satisfies the Morse inequalities and the first Betti number γ₁ is at least equal to K. The convex hull of the collection of ali Betti number vectors which satisfy the Morse inequalities and the inequality γ ₁ ≥ K for a pre-assigned data determines a Morse polytope P_K (h₀....,h_n). Finally, we associate a Morse polytope, P_K..., h_n) to a family of Lyapunov graphs L(h₀ ... h_h, K) and determine geometrical properties of this polytope.