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Tese de Doutorado
DOI
10.11606/T.55.2006.tde-02022007-093739
Documento
Autor
Nome completo
Benito Frazão Pires
E-mail
Unidade da USP
Área do Conhecimento
Data de Defesa
Imprenta
São Carlos, 2006
Orientador
Banca examinadora
Vidalon, Carlos Teobaldo Gutierrez (Presidente)
Brandão, Daniel Smania
Galvez, Americo Lopez
Scardua, Bruno Cesar Azevedo
Teixeira, Marco Antonio
Título em português
Estabilidade assintótica e estrutural de campos vetoriais
Palavras-chave em português
Closing Lemma
connecting lemma
estabilidade assintótica
estabilidade estrutural
recorrência
Resumo em português
O objetivo deste trabalho é provar um Closing Lema Parcial para variedades bidimensionais compactas, orientáveis ou não--orientáveis. Para enunciá--lo, considere um campo vetorial \linebreak $X\in\mathfrak^r(M)$, $r\ge 2$, de classe $C^r$ em uma variedade bidimensional compacta $M$, e seja $\Sigma$ um segmento transversal a $X$ passando por um ponto recorrente não--trivial $p$ de $X$. Seja $P:\Sigma\to\Sigma$ a correspondente transformação de primeiro retorno. O primeiro resultado deste trabalho consiste em mostrar que se $P$ tem a propriedade de que para todo $n\ge N$ e $x\in{m dom}\,(P^n)$, $\vert DP^n(x)\vert<\lambda$, onde $N\in\N$ e $0<\lambda<1$, então existe um campo vetorial $Y$ arbitrariamente próximo de $X$ na topologia $C^r$ tendo uma trajetória periódica passando por $p$. O segundo resultado consiste em apresentar condições, sobre os expoentes de Lyapunov de $P$, para que $\vert DP^n\vert<\lambda$ para todo $n\ge N$. Nesta tese, também incluímos um resultado sobre a estabilidade assintótica no infinito de campos planares diferenciáveis, mas não necessariamente de classe $C^1$.
Título em inglês
Asymptotic and Structural Stability of Vector Fields
Palavras-chave em inglês
asymptotic stability
Closing Lemma
connecting Lemma
recurrence
structural stability
Resumo em inglês
The aim of this work is to provide a Partial $C^r$ Closing Lemma for compact surfaces, orientable or non--orientable. To state it, let $X\in\mathfrak^r(M)$, $r\ge 2$, be a $C^r$ vector field on a compact surface $M$ and let $\Sigma$ be a transverse segment to $X$ passing through a non--trivial recurrent point $p$ of $X$. Let $P:\Sigma\to\Sigma$ be the corresponding first return map. The first result of this work consists in showing that if $P^n$ has the property that for all $n\ge N$ and $x\in{m dom}\,(P^n)$, $\vert DP^n(x)\vert<\lambda$, where $N\in\N$ e $0<\lambda<1$, then there exists a vector field $Y$ arbitrarily close to $X$ in the $C^r$ topology such that $p$ is a periodic point of $Y$. The second result consists in presenting sufficient conditions, upon the Lyapunov exponents of $P$, so that $\vert DP^n\vert<\lambda$ for all $n\ge N$. In this thesis, we also include a result concerning the asymptotic stability at infinity of planar differentiable vector fields, not necessarily of class $C^1$.
 
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teserevisada.pdf (412.27 Kbytes)
Data de Publicação
2007-02-23
 
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