Neste trabalho, apresentamos um método de simulação Monte Carlo para o cálculo do hedging dinâmico de opções do tipo europeia em mercados multidimensionais do tipo Browniano e livres de arbitragem. Baseado em aproximações martingales de variação limitada para as decomposições de Galtchouk-Kunita-Watanabe, propomos uma metodologia factível e construtiva que nos permite calcular estratégias de hedging puras com respeito a qualquer opção quadrado integrável em mercados completos e incompletos. Uma vantagem da abordagem apresentada aqui é a flexibilidade de aplicação do método para os critérios quadráticos de minimização do risco local e de variância média de forma geral, sem a necessidade de se considerar hipóteses de suavidade para a função payoff. Em particular, a metodologia pode ser aplicada para calcular estratégias de hedging quadráticas multidimensionais para opções que dependem de toda a trajetória dos ativos subjacentes em modelos de volatilidade estocástica e com funções payoff descontínuas. Ilustramos nossa metodologia, fornecendo exemplos numéricos dos cálculos das estratégias de hedging para opções vanilla e opções exóticas que dependem de toda a trajetória dos ativos subjacentes escritas sobre modelos de volatilidade local e modelos de volatilidade estocástica. Ressaltamos que as simulações são baseadas em aproximações para os processos de preços descontados e, para estas aproximações, utilizamos o método numérico de Euler-Maruyama aplicado em uma discretização aleatória simples. Além disso, fornecemos alguns resultados teóricos acerca da convergência desta aproximação para modelos simples em que podemos considerar a condição de Lipschitz e para o modelo de volatilidade estocástica de Heston.

In this work, we present a Monte Carlo simulation method to compute de dynamic hedging of european-type contingent claims in a multidimensional Brownian-type and arbitrage-free market. Based on bounded variation martingale approximations for the Galtchouk-Kunita- Watanabe decomposition, we propose a feasible and constructive methodology which allows us to compute pure hedging strategies with respect to any square-integrable contingent claim in complete and incomplete markets. An advantage of our approach is the exibility of quadratic hedging in full generality without a priori smoothness assumptions on the payoff function. In particular, the methodology can be applied to compute multidimensional quadratic hedgingtype strategies for fully path-dependent options with stochastic volatility and discontinuous payoffs. We illustrate our methodology, providing some numerical examples of the hedging strategies to vanilla and exotic contingent claims written on local volatility and stochastic volatility models. The simulations are based in approximations to the discounted price processes and, for these approximations, we use an Euler-Maruyama-type method applied to a simple random discretization. We also provide some theoretical results about the convergence of this approximation in simple models where the Lipschitz condition is satisfied and the Heston's stochastic volatility model.