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Dissertação de Mestrado
DOI
10.11606/D.45.2009.tde-20072009-144313
Documento
Autor
Nome completo
Cesar Adriano Batista
E-mail
Unidade da USP
Área do Conhecimento
Data de Defesa
Imprenta
São Paulo, 2009
Orientador
Banca examinadora
Tausk, Daniel Victor (Presidente)
Fichmann, Luiz
Malagutti, Pedro Luiz Aparecido
Título em português
Generalizações do teorema de representação de Riesz
Palavras-chave em português
Blocos infinitos
Espaços de medida
Espaços Lp
Invariantes cardinais.
Medidas perfeitas
Teorema de Representação de Riesz
Resumo em português
Dados um espaço de medida (X;A;m) e números reais p,q>1 com 1/p+1/q=1, o Teorema de Representação de Riesz afirma que Lq(X;A;m) é o dual topológico de Lp(X;A;m) e que Loo(X;A; m) é o dual topológico de L1(X;A;m) se o espaço (X;A;m) for sigma-finito. Observamos que a sigma-finitude de (X;A;m) é condição suficiente mas não necessária para que Loo(X;A;m) seja o dual de L1(X;A;m). Os contra-exemplos tipicamente apresentados para essa última identificação são "triviais", no sentido de que desaparecem se "consertarmos" a medida , transformando-a numa medida perfeita. Neste trabalho apresentamos condições sufcientes mais fracas que sigma-finitude a fim de que Loo(X;A;m) e o dual de L1(X;A;m) possam ser isometricamente identificados. Além disso, introduzimos um invariante cardinal para espaços de medida que chamaremos a dimensão do espaço e mostramos que se o espaço (X;A;m) for de medida perfeita e tiver dimensão menor ou igual à cardinalidade do continuum então uma condição necessária e suficiente para Loo(X;A;m) seja o dual de L1(X;A;m) é que X admita uma decomposição.
Título em inglês
Generalizations of the Riesz Representation Theorem
Palavras-chave em inglês
Infinite blocks
Invariant cardinal.
Lp spaces
measure spaces
Perfect measures
the Riesz representation theorem.
Resumo em inglês
Given a measure space (X;A;m) and real numbers p,q>1 with 1/p+1/q=1, the Riesz Representation Theorem states that Lq(X;A;m) is the topological dual space of Lp(X;A;m) and that Loo(X;A; m) is the topological dual space of L1(X;A;m) if (X;A; m) is sigma-finite. We observe that the sigma-finiteness of (X;A;m) is a suficient but not necessary condition for Loo(X;A;m) to be the dual of L1(X;A;m). The counter-examples that are typically presented for Loo(X;A;m) = L1(X;A;m)* are "trivial", in the sense that they vanish if we fix the measure , making it into a perfect measure. In this work we present suficient conditions weaker than sigma-finiteness in order that Loo(X;A; m) and L1(X;A;m)* can be isometrically identified. Moreover, we introduce a cardinal invariant for measure spaces which we call the dimension of the space and we show that if the space (X;A;m) has perfect measure and dimension less than or equal to the cardinal of the continuum then a necessary and suficient condition for Loo(X;A;m) = L1(X;A;m)* is that X admits a decomposition.
 
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Data de Publicação
2009-09-23
 
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