Graphs are often used to model diverse, complex phenomena in many fields, such as social networks, brain region connectivity, or protein-protein interaction. However, due to the complexity of their structure, standard statistical methods are insufficient in searching for a correlation between populations of graphs. In a recent paper by Takahashi et al. (2012), they suggested that the graph spectrum is a good fingerprint of the graphs structure, and they developed several statistical methods based on this feature. These methods, however, rely on the distribution of the eigenvalues of the graph being real-valued, which is false when graphs are directed or weighted. In this thesis, we extend their results to directed graphs by working with the distribution of complex eigenvalues instead. Then, we constructed a parameter estimator, a model selection approach, a statistical test to compare two populations of graphs, a test for association between a graph and variables of interest, and a clustering algorithm.

Grafos são frequentemente utilizados para modelar mecanismos complexos em diversas áreas de estudo, como redes sociais (social networks), conectividade entre regiões do cérebro, ou interações proteína-proteína. No entanto, devido a complexidade de sua estrutura, métodos estatísticos padrão não são sucientes para encontrar correlações entre populações de grafos. Em um trabalho recente por Takahashi et al. (2012) foi sugerido que o espectro do grafo é uma boa caracterização de sua estrutura, e diversos métodos estatísticos foram construídos baseado nessa ideia. Entretanto, esses métodos dependem dos autovalores do grafo terem valor real, o que não é satisfeito quando grafos são dirigidos. Neste trabalho estendemos estes resultados para grafo dirigidos utilizando a distribuição de autovalores complexa como base. Assim, desenvolvemos métodos de estimação de parâmetros para modelos de grafos aleatórios, uma seleção de modelos, um teste estatístico para comparar duas ou mais populações de grafos, um teste de associação entre grafos e variáveis de interesse, e um algoritmo de agrupamento.