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Dissertação de Mestrado
DOI
https://doi.org/10.11606/D.76.2020.tde-13052020-135704
Documento
Autor
Nome completo
Gabriel Fukamoto Magno
Unidade da USP
Área do Conhecimento
Data de Defesa
Imprenta
São Carlos, 2020
Orientador
Banca examinadora
Pinto, Diogo de Oliveira Soares (Presidente)
Cunha, Marcelo de Oliveira Terra
Landulfo, Andre Gustavo Scagliusi
Título em português
Geometria da Informação: métricas em espaços de estado e correções na cota de Cramér-Rao
Palavras-chave em português
Cota de Cramér-Rao
Geometria
Teoria de informação
Resumo em português
A Geometria da informação promove uma investigação da estrutura geométrica de variedades estatísticas, fornecendo uma série de elucidações em áreas que vão desde ciências da informação até ciências físicas, além de resultados aplicáveis a problemas como os de inferência estatística. Neste texto, vamos apresentar a estrutura dualística (métrica de Fisher, ±α-conexões) na variedade de probabilidades clássicas vinda de f-divergências globalmente definidas por funções convexas. Vamos então estender este formalismo para produzir o seu análogo quântico, obtendo uma família de métricas de Fisher não comutativas. Em seguida, relacionamos estas métricas com as métricas monotônicas permitidas na mecânica quântica pelo do Teorema de Morozova-Chentsov-Petz via conexão operadores função convexa e monotônica. Por fim, mostramos uma aplicação das técnicas geométricas em um problema de inferência estatística, onde calcularemos correções de ordem superior na cota de Cramér-Rao para um estimador de um parâmetro a partir da estrutura geométrica do espaço de Hilbert adjacente, clássico ou quântico, observando as intersecções deste processo com os resultados anteriormente apresentados.
Título em inglês
Information Geometry: metrics in state spaces and corrections to the Cramér-Rao bound
Palavras-chave em inglês
Cramér-Rao bound
Geometry
Information theory
Resumo em inglês
Information geometry promotes an investigation of the geometric structure of statistical manifolds, providing a series of elucidations in areas ranging from information science to physical sciences. In this text, we show a dualistic structure (Fisher metric, ±α-connections) on the classical probability manifold coming from f-divergences globally definites by convex functions. Thus, we extend this formalism to obtain its quantum analog, finding a noncommutative family of Fisher metrics. Then, we connect these metrics with the allowed monotone metrics in quantum mechanics from the Morozova-Chentsov-Petz theorem by a relation between operator convex and monotone functions. At last, we show one application of geometric technics on a statistical inference problem, where we are going to calculate higher order correction on the Cramér-Rao bound for an uniparametric estimator from the geometric structure of the adjacent Hilbert space, classical or quantum, observing the intersections with the results previously presented.
 
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Data de Publicação
2020-05-21
 
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