As redes complexas têm recebido muita atenção desde o início de seu desenvolvimento, porém, um dos conceitos centrais da área, a ‘complexidade’, ainda não está completamente definido. Tradicionalmente, compreende-se esse termo como a expressão da heterogeneidade dos graus dos nós de uma rede. Entretanto, dado que a distribuição de graus não é capaz de caracterizar suficientemente toda a topologia de uma rede complexa, faz-se necessário considerar medidas adicionais para obter uma descrição de complexidade mais abrangente. No presente trabalho, apresenta-se um índice de complexidade baseado na heterogeneidade de valores de um diverso grupo de medidas topológicas, incluindo grau dos nós, caminho mínimo, coeficiente de aglomeração local, betweenness centrality, matching index, autovalor Laplaciano e grau hierárquico. Utilizando esse índice, objetiva-se obter um método para aumentar a complexidade de redes complexas, gerando um novo modelo de redes complexas, nomeada de redes hipercomplexas - HC, que apresenta alta complexidade em comparação a um conjunto de modelos teóricos de referência (Erdös-Rényi, Barabási- Albert, Waxman, Random Geometric Graph e Watts-Strogatz). Esse método é proposto da seguinte forma: inicia-se com uma rede complexa, que então é submetida a um processo de otimização que altere sua configuração topológica enquanto busca maximizar o seu índice de complexidade. O processo de otimização à princípio aqui adotado consiste na reconexão de arestas de forma uniformemente aleatória enquanto é aplicado o algoritmo de descida de gradiente a cada iteração. Como resultado, observou-se um real incremento na complexidade das redes, em que as HCs, no final do processo, apresentaram índices de complexidade aproximadamente quatro vezes maiores do que os índices das redes do modelo Erdös-Rényi, que foram escolhidas como redes iniciais nesse experimento. Além disso, durante o processo de maximização, as redes hipercomplexas apresentaram uma tendência de gerar características diferentes das presentes nos modelos teóricos considerados. De fato, o incremento da complexidade das HCs resultou em um aumento da diversidade dos valores das medidas de três a quatro vezes em relação às redes iniciais. Por fim, numa abordagem qualitativa, observou-se que esse aumento na diversidade das medidas gerou características topológicas interessantes como o surgimento de longos ramos periféricos e vários hubs com conectividades semelhantes tanto ao iniciar o método com redes do modelo Erds-Rényi quanto também do modelo Barabási-Albert.

Complex networks have been receiving a plenty of attention since the beginning of their development, however, one of the central concepts in the field, ‘complexity’, is not yet fully defined. Traditionally, this term is understood as the expression of the heterogeneity of the node degrees of a network. However, since the degree distribution is not enough to sufficiently characterize the overall topology of a complex network, it is necessary to consider additional measures to obtain a more comprehensive description of complexity. In this work, we present a complexity index based on the heterogeneity of values of a diverse group of topological measures, including degree of nodes, shortest path length, local cluster coefficient, betweenness centrality, matching index, Laplacian eigenvalue and hierarchical node degree. Employing this index, we aim at obtaining a method to increase the complexity of complex networks, generating a new model of complex networks, named hypercomplex networks - HC, which presents high complexity compared to a group of theoretical reference models (Erdös-Rényi, Barabási-Albert, Waxman, Random Geometric Graph e Watts-Strogatz). This method is proposed as follows: it starts with a complex network, which is then submitted to an optimization process that changes its topological configuration while seeking to maximize its complexity index. The optimization process at first adopted here consists of rewiring edges in a uniformly random way while applying the gradient descent algorithm to each iteration. As a result, there was a real increase in the complexity of the networks, in which the HCs, at the end of the process, presented complexity indices about four times greater than the network index of Erdös-Rényi model, that were chosen as initial networks in this experiment. Furthermore, during the maximization process, hypercomplex networks tended to generate characteristics different from those present in other theoretical models considered. Indeed, the complexity increment of HCs produced an increase in the diversity of the values of the measurements of three to four times compared with the initial networks. Finally, in a qualitative approach, it was observed that this enhancement in the diversity of measurements generated interesting topological features, such as the emergence of long peripheral branches and several hubs with similar connectivity both when starting the method with networks from the Erds- Rényi model and also from the Barabási-Albert model.