Nesta tese, exploramos a interseção entre grafos, grupos e termodinâmica, empregando uma variedade de ferramentas analíticas e computacionais recentes. O estudo se concentra na análise de grafos dirigidos por meio de deformações de grupo no Laplaciano combinatório, bem como na análise de tais deformações e na definição de novas medidas e técnicas para maximizar o aproveitamento dessas ferramentas. Nosso foco particular recai sobre a deformação magnética (grupo unitário deformando o Laplaciano combinatório). Por meio do formalismo de matrizes e estatística circulante, descobrimos relações entre as simetrias das medidas termodinâmicas definidas nesta tese e a presença ou ausência de comunidades. Mostramos também como os problemas de sincronização de grupo podem ser utilizados para investigar transições de fase em sistemas físicos discretos, demonstrando que a exploração desses novos operadores deformados é uma via de mão dupla que auxilia tanto a ciência de dados em redes quanto problemas mais fundamentais em física. As investigações teóricas dessas transformações realizadas nesta tese são relevantes, principalmente devido ao recente interesse na utilização de tais transformações em técnicas de aprendizado em grafos direcionados e transformers. Entretanto, consideramos pertinente explorar ainda mais as possíveis direções de aplicações práticas. Dentre essas aplicações, mostramos como a abordagem da teoria de matrizes aleatórias, adaptada para esses operadores, pode ser usada para conjuntos de dados de redes gênicas, identificando elementos de tais conjuntos que são apenas ruído. Além disso, desenvolvemos um arcabouço que, utilizando este formalismo como uma das bases, permite a análise de dados tabulares complexos. Utilizamos como estudo de caso desse arcabouço os dados do Censo Escolar PeNSE de 2015. Propomos e analisamos o conceito de grafos efetivos derivados dessas deformações de grupo, e mostramos como tais grafos efetivos permitem aplicar várias técnicas e medidas restritas a grafos não direcionados em grafos direcionados tal como o conceito de grupo de renormalização.

In this work, we explore the intersection between graphs, groups, and thermodynamics, employing a variety of recent analytical and computational tools. The study focuses on the analysis of directed graphs through group deformations in the combinatorial Laplacian, as well as on the analysis of such deformations and the definition of new measures and techniques to maximize the use of these tools. Our particular focus is on magnetic deformation (unitary group of the combinatorial Laplacian). Through the formalism of matrices and circulant statistics, we discovered relationships between the symmetries of the thermodynamic measures defined in this thesis and the presence or absence of communities. We also showed how group synchronization problems can be used to investigate phase transitions in discrete physical systems, demonstrating that the investigation of these new deformed operators is a two-way street that helps both network data science and more fundamental problems in physics. The theoretical investigations of these transformations carried out in this thesis are relevant, especially due to the recent interest in the use of such transformations in learning techniques in directed graphs and transformers. However, we consider it pertinent to explore further potential directions of practical applications. Among these applications, we show how the approach of the theory of random matrices, adapted for these operators, can be used for gene network data sets, identifying elements of such data sets that are just noise. In addition, we developed a framework that, using this formalism as one of the bases, allows the analysis of complex tabular data. We used the PeNSE School Census data from 2015 as a case study for this framework. We propose and analyze the concept of effective graphs derived from these group deformations, and show how such effective graphs allow the application of various techniques and measures restricted to undirected graphs on directed graphs. The thesis concludes by emphasizing the importance of edge semantics when using graphs in data analysis, and proposes new research directions, including the exploration of new group deformations and the creation of concepts of effective graphs derived from such deformations.