This work aims to present a connection between Frobenius manifolds, a concept of differential geometry which shows up in topological field theory, and systems of differential equations of hydrodynamic type. Formulated by Dubrovin in the 1990s, Frobenius manifolds aim to give a geometric interpretation to the so-called associativity equations, or WDVV equations, a nonlinear system whose solution is a quasi-homogeneous function describing structure constants of an associative algebra. Hydrodynamic-type systems arise, as the name suggests, in studies on fluid mechanics, especially gas dynamics. From the geometric approach, the relation between these two entities is given by means of a Hamiltonian representation for these equations, arising from a specific type of Poisson structure. Specifically, the work presents an overview of the main geometric aspects of the theory, leading to a theorem according to which the loop-space of a Frobenius manifold carries a so-called bi-Hamiltonian structure of hydrodynamic type.

Este trabalho se propõe a apresentar uma conexão entre as variedades de Frobenius, um conceito da geometria diferencial presente na teoria topológica de campos, e sistemas de equações de tipo hidrodinâmico. Formuladas por Dubrovin ma década de 1990, as variedades de Frobenius visam dar uma interpretação geométrica às chamadas equações de associatividade, ou equações WDVV, um sistema não linear cuja solução é uma função quasi-homogênea que descreve constantes de estrutura de uma álgebra associativa. Os sistemas de tipo hidrodinâmico surgem, como o nome sugere, em estudos sobre mecânica de fluidos, especialmente dinâmica de gases. A relação, do ponto de vista geométrico, entre essas duas entidades se dá por meio de uma representação hamiltoniana para essas equações, proveniente de um tipo específico de estrutura de Poisson. Especificamente, o trabalho apresenta uma visão geral dos principais aspectos geométricos da teoria, desencadeando num teorema segundo o qual o loop-space de uma variedade de Frobenius carrega uma chamada estrutura bi-hamiltoniana de tipo hidrodinâmico.