In this work we present a study of Morse theory with the aim of introducing the Morse homology theorem as its natural extension. For this we prove the classic Morse theorem, which states that a Morse function defined on a manifold determines its topology as CW-complex through its critical points. Next, we introduce the Morse and Poincaré polynomials, their relations, and the perfect Morse functions that show when the number of non-degenerate critical points is equal to the k-th Betti number of the manifold. Finally, we present the stable and unstable manifolds given by the gradient flow of a Morse-Smale function and the Morse-Smale-Witten chain complex whose homology is isomorphic to the singular homology of the manifold.

Neste trabalho apresentamos um estudo da Teoria de Morse com o objetivo de introduzir o teorema da homologia de Morse como sua extensão natural. Para isso provamos o clássico teorema de Morse que garante que uma função de Morse numa variedade determina sua topologia como CW-complexo por meio de seus pontos críticos. Na sequência introduzimos os polinômios de Morse e Poincaré, suas relações, e as funcões de Morse perfeitas que mostram quando o número de pontos críticos não degenerados de índice k é exatamente igual o k-ésimo número de Betti da variedade. Por fim, apresentamos as variedades estáveis e instáveis determinadas pelo fluxo gradiente de uma função de Morse-Smale e o complexo de cadeia de Morse-Smale-Witten cuja homologia é isomorfa à homologia singular da variedade