Thèse de Doctorat
DOI
https://doi.org/10.11606/T.55.2018.tde-18102018-084025
Document
Auteur
Nom complet
Grégory Duran Cunha
Unité de l'USP
Domain de Connaissance
Date de Soutenance
Editeur
São Carlos, 2018
Directeur
Jury
Borges Filho, Herivelto Martins (Président)
Arakelian, Nazar
Carvalho, Cícero Fernandes de
Mirzaii, Behrooz
Titre en anglais
On Weierstrass points and some properties of curves of Hurwitz type
Mots-clés en anglais
Algebraic curves
Finite fields
Goppa codes
Weierstrass semigroup
Resumé en anglais
This work presents several results on curves of Hurwitz type, defined over a finite field. In 1961, Tallini investigated plane irreducible curves of minimum degree containing all points of the projective plane PG(2,q) over a finite field of order q. We prove that such curves are Fq3(q2+q+1)-projectively equivalent to the Hurwitz curve of degree q+2, and compute some of itsWeierstrass points. In addition, we prove that when q is prime the curve is ordinary, that is, the p-rank equals the genus of the curve. We also compute the automorphism group of such curve and show that some of the quotient curves, arising from some special cyclic automorphism groups, are still curves of Hurwitz type. Furthermore, we solve the problem of explicitly describing the set of all Weierstrass pure gaps supported by two or three special points on Hurwitz curves. Finally, we use the latter characterization to construct Goppa codes with good parameters, some of which are current records in the Mint table.
Titre en portugais
Pontos de Weierstrass e algumas propriedades das curvas do tipo Hurwitz
Mots-clés en portugais
Códigos de Goppa
Corpos finitos
Curvas algébricas
Semigrupo de Weierstrass
Resumé en portugais
Este trabalho apresenta vários resultados em curvas do tipo Hurwitz, definidas sobre um corpo finito. Em 1961, Tallini investigou curvas planas irredutíveis de grau mínimo contendo todos os pontos do plano projetivo PG(2,q) sobre um corpo finito de ordem q. Provamos que tais curvas são Fq3(q2+q+1)-projetivamente equivalentes à curva de Hurwitz de grau q+2, e calculamos alguns de seus pontos de Weierstrass. Em adição, provamos que, quando q é primo, a curva é ordinária, isto é, o p-rank é igual ao gênero da curva. Também calculamos o grupo de automorfismos desta curva e mostramos que algumas das curvas quocientes, construídas a partir de certos grupos cíclicos de automorfismos, são ainda curvas do tipo Hurwitz. Além disso, solucionamos o problema de descrever explicitamente o conjunto de todos os gaps puros de Weierstrass suportados por dois ou três pontos especiais em curvas de Hurwitz. Finalmente, usamos tal caracterização para construir códigos de Goppa com bons parâmetros, sendo alguns deles recordes na tabela Mint.
AVERTISSEMENT - Regarde ce document est soumise à votre acceptation des conditions d'utilisation suivantes:
Ce document est uniquement à des fins privées pour la recherche et l'enseignement. Reproduction à des fins commerciales est interdite. Cette droits couvrent l'ensemble des données sur ce document ainsi que son contenu. Toute utilisation ou de copie de ce document, en totalité ou en partie, doit inclure le nom de l'auteur.
Date de Publication
2018-10-18
AVERTISSEMENT: Apprenez ce que sont des œvres dérivées
cliquant ici.